Um subconjunto W do espaço R^n é bem definido através de uma condição imposta a um vetor arbitrário (X1, X2, …, Xn). Determine se W é ou não um subespaço de R^n.
  • x1=3 x3, x2=4 x4

Passo 1

O enunciado define
W = (x1,x2,dots,xn)in R^n mid x1 = 3x3,;x2=4x4
e pede para verificar se W é subespaço de R^n.
Para isso usamos a definição: W será subespaço se contiver o vetor zero e for fechado para soma e multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero (0,0,dots,0) pertence a W. De fato,
0 = 3cdot 0, 0 = 4cdot 0,
logo (0,0,dots,0)in W. Assim W não está vazio e contém o zero.

Passo 3

Fechamento para soma. Tomemos u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) em W. Então
u1 = 3u3, u2=4u4, v1=3v3, v2=4v4
No vetor soma w=u+v temos
w1 = u1+v1 = 3u3+3v3 = 3(u3+v3) = 3,w3,
w2 = u2+v2 = 4u4+4v4 = 4(u4+v4) = 4,w4
Logo w satisfaz as mesmas condições e u+vin W.

Passo 4

Fechamento para multiplicação escalar. Seja lambdainR e uin W com u1=3u3 e u2=4u4. No vetor lambda u temos
(lambda u)1 = lambda u1 = lambda,(3u3) = 3(lambda u3) = 3,(lambda u)3,
(lambda u)2 = lambda u2 = lambda,(4u4) = 4(lambda u4) = 4,(lambda u)4
Portanto lambda uin W.

Passo 5

Como W contém o zero e é fechado para soma e multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço de R^n.

Resposta

W é subespaço de R^n.

Exercícios relacionados