1^{\circ} ) Mostre que a diferença entre duas séries convergentes é uma série convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se as séries \sum_{n=1}^{\infty}a_n e \sum_{n=1}^{\infty}b_n convergem, então a série
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n - b_n)
também converge. O conteúdo envolvido é o de séries numéricas e propriedades de limites de sequências (em particular, que a diferença de duas sequências convergentes também converge).

Passo 2

Definimos as somas parciais de cada série. Seja
A_N = \sum_{n=1}^{N}a_n
e
B_N = \sum_{n=1}^{N}b_n.
Como \sum a_n converge, (A_N) converge para algum limite A. Como \sum b_n converge, (B_N) converge para algum limite B.

Passo 3

Agora considere a série da diferença. Suas somas parciais são
C_N = \sum_{n=1}^{N}(a_n - b_n).
Por propriedades de somatório, temos
C_N = \sum_{n=1}^{N}a_n \;-\;\sum_{n=1}^{N}b_n = A_N - B_N.

Passo 4

Sabemos que A_N \to A e B_N \to B quando N\to\infty. Pela propriedade de limites de sequências, a diferença
C_N = A_N - B_N
converge para
\lim_{N\to\infty}C_N \;=\;\lim_{N\to\infty}A_N \;-\;\lim_{N\to\infty}B_N \;=\;A - B.

Passo 5

Como (C_N) converge, concluímos que a série
\sum_{n=1}^{\infty}(a_n - b_n)
é convergente, com soma igual a A - B.

Resposta

A diferença de duas séries convergentes \sum a_n e \sum b_n é a série \sum(a_n - b_n), cujas somas parciais convergem para a diferença dos limites, logo \sum(a_n - b_n) converge (e sua soma é \lim\sum a_n - \lim\sum b_n).

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