) Mostre que a diferença entre duas séries convergentes é uma série convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se as séries
e
convergem, então a série
também converge. O conteúdo envolvido é o de séries numéricas e propriedades de limites de sequências (em particular, que a diferença de duas sequências convergentes também converge).
Passo 2
Definimos as somas parciais de cada série. Seja
e
Como
converge,
converge para algum limite
. Como
converge,
converge para algum limite
.
Passo 3
Agora considere a série da diferença. Suas somas parciais são
Por propriedades de somatório, temos
Passo 4
Sabemos que
e
quando
. Pela propriedade de limites de sequências, a diferença
converge para
Passo 5
Como
converge, concluímos que a série
é convergente, com soma igual a
.
Resposta
A diferença de duas séries convergentes
e
é a série
, cujas somas parciais convergem para a diferença dos limites, logo
converge (e sua soma é
).