7^{\circ} ) A única força que age sobre uma lata de 5,0 \mathrm{~kg} que está se movendo em um plano x y tem um módulo de 10,0 \mathrm{~N}. Inicialmente, a lata tem uma velocidade de 25,2 \mathrm{~km} / \mathrm{h} no sentido positivo do eixo x; em um instante posterior, a velocidade passa a ser 8,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s} no sentido positivo do eixo y. Qual é o trabalho realizado sobre a lata pela força de 10,0 \mathrm{~N} nesse intervalo de tempo?

Passo 1

O enunciado nos dá os seguintes dados e pede uma única coisa:
  • Massa da lata: m=5{,}0\\ \mathrm{kg}.
  • Módulo da única força que age sobre a lata: F=10{,}0\\ \mathrm{N}. (É a força resultante, já que é a única.)
  • Velocidade inicial: 25{,}2\\ \mathrm{km/h} no sentido positivo de x.
  • Velocidade final: 8{,}0\\ \mathrm{m/s} no sentido positivo de y.
  • Pergunta: Qual é o trabalho realizado sobre a lata pela força de 10{,}0\\ \mathrm{N} nesse intervalo de tempo?
Observação importante (que vem do enunciado): como só existe uma força agindo, essa força é a resultante. Então podemos usar o Teorema Trabalho-Energia (trabalho da força resultante = variação da energia cinética).

Passo 2

Converter a velocidade inicial de \mathrm{km/h} para \mathrm{m/s}, porque todas as fórmulas de energia cinética usam metros e segundos.
A conversão é \;1\\ \mathrm{km/h}=\dfrac{1000}{3600}\\ \mathrm{m/s}=\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}.
Portanto:
25{,}2\\ \mathrm{km/h}=25{,}2\cdot\dfrac{5}{18}\\ \mathrm{m/s}=7{,}0\\ \mathrm{m/s}.
Chamando de v_i a velocidade inicial e v_f a velocidade final, temos:
v_i=7{,}0\\ \mathrm{m/s},\qquad v_f=8{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Apresentar e explicar o Teorema Trabalho–Energia de forma didática.
O Teorema Trabalho–Energia diz que o trabalho realizado pela força resultante sobre uma partícula durante um movimento é igual à variação da energia cinética da partícula:
W_{\text{res}}=\Delta K = K_f-K_i.
Breve derivação/intuição (sem pular etapas): pela Segunda Lei de Newton,
\mathbf{F}_{\text{res}}=m\mathbf{a}=m\frac{d\mathbf{v}}{dt}.
O trabalho elementar feito durante um deslocamento infinitesimal d\mathbf{r} é
dW=\mathbf{F}_{\text{res}}\cdot d\mathbf{r}.
Mas d\mathbf{r}=\mathbf{v}\,dt, logo
dW=\mathbf{F}_{\text{res}}\cdot\mathbf{v}\,dt = m\frac{d\mathbf{v}}{dt}\cdot\mathbf{v}\,dt = m\,\mathbf{v}\cdot d\mathbf{v}.
Usando a identidade \mathbf{v}\cdot d\mathbf{v} = \tfrac{1}{2}\,d(v^2) obtemos
dW = \tfrac{1}{2}m\,d(v^2)=d\!\left(\tfrac{1}{2}m v^2\right).
Integrando entre os instantes inicial e final:
W_{\text{res}}=\tfrac{1}{2}m v_f^2-\tfrac{1}{2}m v_i^2 = K_f-K_i.
Isso mostra por que a direção da força e o caminho não precisam ser conhecidos: basta que ela seja a resultante. O trabalho depende da variação de v^2, ou seja, das velocidades escalares (módulos).

Passo 4

Calcular a energia cinética inicial K_i. A fórmula da energia cinética de uma massa m movendo-se com velocidade de módulo v é
K=\tfrac{1}{2}m v^2,
onde K está em joules se m está em quilogramas e v em metros por segundo.
Então
K_i=\tfrac{1}{2}\,m\,v_i^2=\tfrac{1}{2}\cdot 5{,}0\cdot(7{,}0)^2.
Calcule passo a passo:
(7{,}0)^2=49,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot 5{,}0=2{,}5,
logo
K_i=2{,}5\cdot 49 = 122{,}5\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a energia cinética final K_f:
K_f=\tfrac{1}{2}\,m\,v_f^2=\tfrac{1}{2}\cdot 5{,}0\cdot(8{,}0)^2.
Passo a passo:
(8{,}0)^2=64,\qquad \tfrac{1}{2}\cdot 5{,}0=2{,}5,
logo
K_f=2{,}5\cdot 64 = 160{,}0\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Aplicar o Teorema Trabalho–Energia para obter o trabalho realizado pela força resultante (a única força):
W=K_f-K_i=160{,}0-122{,}5=37{,}5\\ \mathrm{J}.
Interpretação física rápida: o trabalho é positivo porque a energia cinética aumentou (a lata acelerou de 7{,}0\\ \mathrm{m/s} para 8{,}0\\ \mathrm{m/s}), então a força realizou energia sobre a lata.

Resposta

37{,}5\\ \mathrm{J}

Exercícios relacionados