Se \mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{1}{2} ; \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{1}{3} e \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=\frac{1}{4}. Calcule:
\mathrm{P}(\overline{A \cap B})

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações:
  • \mathrm{P}(A)=\frac{1}{2}.
  • \mathrm{P}(B)=\frac{1}{3}.
  • \mathrm{P}(A\cap B)=\frac{1}{4}.
O que ele pede: calcular \mathrm{P}\big(\overline{A\cap B}\big), ou seja, a probabilidade do complemento do evento A\cap B (a probabilidade de que A\cap B NÃO ocorra).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática e intuitiva): o complemento de um evento E é o conjunto de resultados do espaço amostral em que E não ocorre. As duas possibilidades "ocorre E" e "não ocorre E" cobrem todo o espaço amostral sem sobreposição, portanto as probabilidades somam 1. Por isso vale a regra fundamental:
\mathrm{P}(\overline{E}) = 1 - \mathrm{P}(E).
Aqui cada símbolo significa:
  • \mathrm{P}(\overline{E}): probabilidade de o evento E não ocorrer.
  • \mathrm{P}(E): probabilidade de o evento E ocorrer.
    Essa é uma fórmula básica que dá para usar direto na prova — memoriza que “complemento = 1 menos”.

Passo 3

Aplicando a regra ao evento E = A\cap B:
\mathrm{P}\big(\overline{A\cap B}\big) = 1 - \mathrm{P}(A\cap B).
Substituindo o valor dado \mathrm{P}(A\cap B)=\tfrac{1}{4}:
\mathrm{P}\big(\overline{A\cap B}\big) = 1 - \tfrac{1}{4}.

Passo 4

Fazendo a conta de frações passo a passo (sem calculadora): escrevendo 1 como \tfrac{4}{4},
1 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{4}{4} - \tfrac{1}{4} = \tfrac{3}{4}.
Interpretação rápida: se a interseção ocorre com probabilidade \tfrac{1}{4}=0{,}25, então a chance de ela não ocorrer é 0{,}75, isto é \tfrac{3}{4}. Faz sentido e está no intervalo [0,1], então é coerente.

Resposta

\frac{3}{4}

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