Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de obter exatamente 2 caras?

Passo 1

O enunciado dá que uma moeda é lançada 6 vezes e pede a probabilidade de obter exatamente 2 caras. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Número de lançamentos (número de ensaios): n=6.
  • Número de caras (sucessos) desejado: k=2.
  • Assumo que a moeda é justa (moeda equilibrada), então a probabilidade de cara em cada lançamento é p=\tfrac{1}{2}.
    Nada mais é pedido além dessa probabilidade específica.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): cada sequência de 6 lançamentos tem probabilidades multiplicativas, porque os lançamentos são independentes. Se eu fixo quais posições têm as 2 caras, a probabilidade dessa sequência específica é
p^{2}(1-p)^{4}.
Mas existem várias sequências diferentes que resultam em exatamente 2 caras (por exemplo: CC,CoroC… — isto é, caras nas posições 1 e 2, ou nas posições 1 e 3, etc.). O número dessas sequências é dado pelo número de maneiras de escolher 2 posições entre 6, que é o coeficiente binomial \binom{6}{2}. Portanto a probabilidade pedida é
\binom{6}{2}\,p^{2}(1-p)^{4}.
Agora vamos entender e calcular cada parte com calma.

Passo 3

Explicando o coeficiente binomial \binom{6}{2}: ele conta quantas maneiras distintas existem de escolher 2 posições entre 6. A fórmula é
\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!(6-2)!}=\frac{6!}{2!\,4!}.
O que é fatorial? Para um inteiro positivo m, m! (lê-se “ m fatorial”) é o produto m!=m\cdot (m-1)\cdot (m-2)\cdots 1. Exemplos rápidos:
6!=6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=720,\qquad 4!=24,\qquad 2!=2.
Substituindo:
\binom{6}{2}=\frac{720}{2\cdot24}=\frac{720}{48}=15.
Logo existem 15 sequências distintas com exatamente 2 caras.

Passo 4

Probabilidade de uma sequência específica com exatamente 2 caras: como cada lançamento tem probabilidade p=\tfrac{1}{2} de cara e 1-p=\tfrac{1}{2} de coroa, a probabilidade de, por exemplo, cara nas posições 1 e 3 e coroa nas demais é
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}\left(\tfrac{1}{2}\right)^{4}=\left(\tfrac{1}{2}\right)^{6}=\tfrac{1}{64}.
Explicação do porquê: multiplicamos porque os eventos (resultados de cada lançamento) são independentes; cada fator \tfrac{1}{2} corresponde à probabilidade de um lançamento específico dar cara ou coroa.

Passo 5

Combinação das partes: existem 15 sequências possíveis (Passo 3) e cada sequência tem probabilidade \tfrac{1}{64} (Passo 4). Então a probabilidade de exatamente 2 caras é
15\cdot \tfrac{1}{64}=\tfrac{15}{64}.
Se quiser um valor decimal para checar, \tfrac{15}{64}=0{,}234375.

Passo 6

Resumo e checagem rápida (como eu faria na prova): usar a distribuição binomial com parâmetros n=6, p=\tfrac{1}{2}, e calcular P(X=2)=\binom{6}{2}(\tfrac{1}{2})^{2}(\tfrac{1}{2})^{4}=\tfrac{15}{64}. Isso bate com a intuição: cerca de 23{,}4\% de chance de obter exatamente duas caras em seis lançamentos de uma moeda justa. Força aí — essa é exatamente a conta que eu faria na prova.

Resposta

\dfrac{15}{64} = 0{,}234375

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