Uma moeda é lançada 6 vezes. Qual a probabilidade de obter exatamente 2 caras?
Passo 1
O enunciado dá que uma moeda é lançada
vezes e pede a probabilidade de obter exatamente
caras. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Número de lançamentos (número de ensaios):
. - Número de caras (sucessos) desejado:
. - Assumo que a moeda é justa (moeda equilibrada), então a probabilidade de cara em cada lançamento é
.
Nada mais é pedido além dessa probabilidade específica.
Passo 2
Ideia geral (explicação didática): cada sequência de
lançamentos tem probabilidades multiplicativas, porque os lançamentos são independentes. Se eu fixo quais posições têm as
caras, a probabilidade dessa sequência específica é
Mas existem várias sequências diferentes que resultam em exatamente
caras (por exemplo: CC,CoroC… — isto é, caras nas posições 1 e 2, ou nas posições 1 e 3, etc.). O número dessas sequências é dado pelo número de maneiras de escolher
posições entre
, que é o coeficiente binomial
. Portanto a probabilidade pedida é
Agora vamos entender e calcular cada parte com calma.
Passo 3
Explicando o coeficiente binomial
: ele conta quantas maneiras distintas existem de escolher
posições entre
. A fórmula é
O que é fatorial? Para um inteiro positivo
,
(lê-se “
fatorial”) é o produto
. Exemplos rápidos:
Substituindo:
Logo existem
sequências distintas com exatamente
caras.
Passo 4
Probabilidade de uma sequência específica com exatamente
caras: como cada lançamento tem probabilidade
de cara e
de coroa, a probabilidade de, por exemplo, cara nas posições 1 e 3 e coroa nas demais é
Explicação do porquê: multiplicamos porque os eventos (resultados de cada lançamento) são independentes; cada fator
corresponde à probabilidade de um lançamento específico dar cara ou coroa.
Passo 5
Combinação das partes: existem
sequências possíveis (Passo 3) e cada sequência tem probabilidade
(Passo 4). Então a probabilidade de exatamente
caras é
Se quiser um valor decimal para checar,
.
Passo 6
Resumo e checagem rápida (como eu faria na prova): usar a distribuição binomial com parâmetros
,
, e calcular
. Isso bate com a intuição: cerca de
de chance de obter exatamente duas caras em seis lançamentos de uma moeda justa. Força aí — essa é exatamente a conta que eu faria na prova.