6^{\circ} ) Utilizando a definição de logaritmo e as propriedades da função exponencial, encontre o valor de: \log _{2}(\sqrt[5]{512})

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\log_{2}\bigl(\sqrt[5]{512}\bigr)
usando a definição de logaritmo e as propriedades da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, reconhecemos que 512 é potência de 2, pois
512 = 2^9.
Em seguida, escrevemos a raiz quinta como potência de expoente \tfrac{1}{5}:
\sqrt[5]{512} = 512^{\tfrac{1}{5}} = \bigl(2^9\bigr)^{\tfrac{1}{5}} = 2^{\tfrac{9}{5}}.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de logaritmo: para qualquer base a>0 e expoente x,
\log_{a}\bigl(a^x\bigr) = x.
Portanto,
\log_{2}\bigl(2^{\tfrac{9}{5}}\bigr) = \tfrac{9}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{9}{5}

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