\left.5^{\circ}\right) Resolva a seguinte equação exponencial: \left(\frac{1}{27}\right)^{4 x-2}=\sqrt{3}.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação exponencial
\left(\frac{1}{27}\right)^{4x-2} = \sqrt{3}.
O conteúdo principal aqui são as propriedades de potência — em particular, reescrever as bases em potências de mesma base para igualar expoentes.

Passo 2

Vamos expressar cada lado como potência de base 3:
\frac{1}{27} = 27^{-1} = (3^3)^{-1} = 3^{-3}, \qquad \sqrt{3} = 3^{\tfrac{1}{2}}.

Passo 3

Substituindo na equação e usando a propriedade (a^m)^n = a^{mn}, obtemos
(3^{-3})^{4x-2} = 3^{\tfrac{1}{2}} \quad\Longrightarrow\quad 3^{-3(4x-2)} = 3^{\tfrac{1}{2}}.
Como as bases são iguais e não nulas, igualamos os expoentes:
-3(4x-2) = \frac{1}{2}.

Passo 4

Resolvendo a equação linear em x:
-3(4x-2) = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad -12x + 6 = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad -12x = \frac{1}{2} - 6 = -\frac{11}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{-\tfrac{11}{2}}{-12} = \frac{11}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{11}{24}

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