3^{\circ} Se \vec{A}=x^{2} y \vec{\imath}-2 x z \vec{\jmath}+2 y z \vec{k} \quad. Determinar rotrot \vec{A}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar \nabla\times(\nabla\times\vec A), isto é, o “rotor do rotor” do campo vetorial
\vec A = x^{2}y\,\vec\imath \;-\;2xz\,\vec\jmath\;+\;2yz\,\vec k.
O conteúdo envolvido é cálculo vetorial em coordenadas cartesianas, usando as fórmulas de derivadas parciais para o operador \nabla\times.

Passo 2

Vamos primeiro lembrar a fórmula do rotor de um campo \vec F=(P,Q,R):
\nabla\times\vec F = \Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\Bigr)\,\vec\imath +\Bigl(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\Bigr)\,\vec\jmath +\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\vec k.
Aplicaremos isso a \vec A com P=x^{2}y, Q=-2xz e R=2yz.

Passo 3

Calcular \nabla\times\vec A:
(\nabla\times\vec A)_1 =\frac{\partial(2yz)}{\partial y}-\frac{\partial(-2xz)}{\partial z} =2z-(-2x)=2x+2z,
(\nabla\times\vec A)_2 =\frac{\partial(x^2y)}{\partial z}-\frac{\partial(2yz)}{\partial x} =0-0=0,
(\nabla\times\vec A)_3 =\frac{\partial(-2xz)}{\partial x}-\frac{\partial(x^2y)}{\partial y} =-2z - x^2 = -\bigl(x^2+2z\bigr).
Logo
\nabla\times\vec A = \bigl(2x+2z,\,0,\,-(x^2+2z)\bigr).

Passo 4

Chame esse resultado de \vec B=\nabla\times\vec A. Agora aplicamos novamente
\nabla\times\vec B usando
\vec B=(B_1,B_2,B_3)=(2x+2z,\,0,\,-(x^2+2z)).

Passo 5

Calcular \nabla\times\vec B:
(\nabla\times\vec B)_1 =\frac{\partial B_3}{\partial y}-\frac{\partial B_2}{\partial z} =0-0=0,
(\nabla\times\vec B)_2 =\frac{\partial B_1}{\partial z}-\frac{\partial B_3}{\partial x} =2 - \bigl(-2x\bigr)=2+2x,
(\nabla\times\vec B)_3 =\frac{\partial B_2}{\partial x}-\frac{\partial B_1}{\partial y} =0-0=0.
Portanto
\nabla\times(\nabla\times\vec A) =\bigl(0,\;2+2x,\;0\bigr).

Resposta

\nabla\times(\nabla\times\vec A)=\bigl(0,\;2(1+x),\;0\bigr).

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