Se \varphi=x y^{3} z^{4} e \vec{r}=x z \vec{\imath}-y^{3} x \vec{\jmath}+3 x y^{2} z \vec{k}, calcular:
\operatorname{rot}(\varphi \vec{r})

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotor de \varphi\vec{r}, em que
\varphi = x\,y^{3}\,z^{4}, \qquad \vec{r} = x\,z\,\vec{\imath} \;-\; x\,y^{3}\,\vec{\jmath} \;+\; 3\,x\,y^{2}\,z\,\vec{k}.
O conteúdo principal é o uso da identidade
\nabla \times (\varphi\vec{r}) = (\nabla \varphi)\times \vec{r} \;+\; \varphi\,(\nabla \times \vec{r}).

Passo 2

Vamos achar primeiro \nabla \varphi. Como \varphi = x\,y^3\,z^4,
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = y^3 z^4, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = 3\,x\,y^2\,z^4, \quad \frac{\partial \varphi}{\partial z} = 4\,x\,y^3\,z^3.
Portanto
\nabla \varphi = \bigl(y^3 z^4,\;3x y^2 z^4,\;4x y^3 z^3\bigr).

Passo 3

Agora calculamos \nabla \times \vec{r}. Se \vec{r}=(P,Q,R) com
P = xz,\quad Q = -x y^3,\quad R = 3x y^2 z,
então
\nabla \times \vec{r} = \Bigl(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr).
Calculando as derivadas:
\frac{\partial R}{\partial y}=6x y z, \; \frac{\partial Q}{\partial z}=0, \; \frac{\partial P}{\partial z}=x, \; \frac{\partial R}{\partial x}=3y^2 z, \; \frac{\partial Q}{\partial x}=-y^3, \; \frac{\partial P}{\partial y}=0.
Logo
\nabla \times \vec{r} = \bigl(6\,x\,y\,z,\;x-3\,y^2\,z,\;-\,y^3\bigr).

Passo 4

Agora fazemos o produto vetorial (\nabla\varphi)\times\vec{r}. Tomando
\nabla\varphi=(A_1,A_2,A_3) e \vec{r}=(B_1,B_2,B_3),
(\nabla\varphi)\times\vec{r} = \bigl(A_2B_3 - A_3B_2,\;A_3B_1 - A_1B_3,\;A_1B_2 - A_2B_1\bigr).
Substituindo
A_1=y^3z^4,\; A_2=3x y^2z^4,\; A_3=4x y^3z^3, \quad B_1=xz,\; B_2=-x y^3,\; B_3=3x y^2z,
obtém-se
(\nabla\varphi)\times\vec{r} =\bigl(9x^2y^4z^5+4x^2y^6z^3,\;4x^2y^3z^4-3xy^5z^5,\;-xy^6z^4-3x^2y^2z^5\bigr).

Passo 5

Ainda falta \varphi\,(\nabla\times\vec{r}). Como \varphi=x\,y^3\,z^4 e
\nabla\times\vec{r}=(6xy z,\;x-3y^2z,\;-y^3), temos
\varphi\,(\nabla\times\vec{r}) =\bigl(6x^2y^4z^5,\;x^2y^3z^4-3xy^5z^5,\;-xy^6z^4\bigr).
Somando os dois resultados:
\nabla\times(\varphi\vec{r}) =(\nabla\varphi)\times\vec{r} \;+\;\varphi\,(\nabla\times\vec{r}),
chegamos a
\nabla\times(\varphi\vec{r}) =\bigl(15x^2y^4z^5+4x^2y^6z^3,\;5x^2y^3z^4-6xy^5z^5,\;-2xy^6z^4-3x^2y^2z^5\bigr).

Resposta

\operatorname{rot}(\varphi\vec{r}) =\bigl(15x^2y^4z^5+4x^2y^6z^3\bigr)\,\vec{\imath} +\bigl(5x^2y^3z^4-6xy^5z^5\bigr)\,\vec{\jmath} +\bigl(-2xy^6z^4-3x^2y^2z^5\bigr)\,\vec{k}.

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