Se \varphi=x y^{3} z^{4} e \vec{r}=x z \vec{\imath}-y^{3} x \vec{\jmath}+3 x y^{2} z \vec{k}, calcular:
\operatorname{Div}(\varphi \vec{r})

Passo 1

O enunciado nos dá a função escalar \varphi=x\,y^{3}\,z^{4} e o campo vetorial
\vec r = x\,z\,\vec\imath - x\,y^{3}\,\vec\jmath + 3\,x\,y^{2}\,z\,\vec k,
e pede o cálculo de
\mathrm{Div}(\varphi\,\vec r)=\nabla\cdot(\varphi\,\vec r).
Aqui o conteúdo é cálculo vetorial, mais especificamente a divergência de um campo obtido pela multiplicação de uma função escalar por um campo vetorial.

Passo 2

Primeiro determinamos o campo \varphi\,\vec r componente a componente:
\varphi\,\vec r = \bigl(\varphi\cdot x\,z\bigr)\,\vec\imath - \bigl(\varphi\cdot x\,y^{3}\bigr)\,\vec\jmath + \bigl(\varphi\cdot 3\,x\,y^{2}\,z\bigr)\,\vec k.
Como \varphi = x\,y^{3}\,z^{4}, temos
\varphi\,x\,z = x^{2}\,y^{3}\,z^{5},\quad \varphi\,x\,y^{3} = x^{2}\,y^{6}\,z^{4},\quad \varphi\,(3\,x\,y^{2}\,z) = 3\,x^{2}\,y^{5}\,z^{5}.
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\varphi\,\vec r = \bigl(x^{2}\,y^{3}\,z^{5}\bigr)\,\vec\imath - \bigl(x^{2}\,y^{6}\,z^{4}\bigr)\,\vec\jmath + \bigl(3\,x^{2}\,y^{5}\,z^{5}\bigr)\,\vec k.

Passo 3

Agora aplicamos a definição de divergência:
\nabla\cdot(\varphi\,\vec r) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{3}z^{5}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-x^{2}y^{6}z^{4}\bigr) + \frac{\partial}{\partial z}\bigl(3x^{2}y^{5}z^{5}\bigr).
Calculando cada derivada parcial:
\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y^{3}z^{5}) = 2\,x\,y^{3}\,z^{5},
\frac{\partial}{\partial y}(-x^{2}y^{6}z^{4}) = -6\,x^{2}\,y^{5}\,z^{4},
\frac{\partial}{\partial z}(3x^{2}y^{5}z^{5}) = 15\,x^{2}\,y^{5}\,z^{4}.

Passo 4

Somando os termos obtemos
\nabla\cdot(\varphi\,\vec r) = 2\,x\,y^{3}\,z^{5} -6\,x^{2}\,y^{5}\,z^{4} +15\,x^{2}\,y^{5}\,z^{4} = 2\,x\,y^{3}\,z^{5} +9\,x^{2}\,y^{5}\,z^{4}.

Resposta

\mathrm{Div}(\varphi\,\vec r) = 2\,x\,y^{3}\,z^{5} +9\,x^{2}\,y^{5}\,z^{4}.

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