\left.5^{\circ}\right) Dados \vec{V}=\left(a x^{2}-b y^{2}-c z^{2}\right) \vec{\imath}+\left(b y^{2}-a x^{2}-c z^{2}\right) \vec{\jmath}+\left(c z^{2}-a x^{2}-b y^{2}\right) \vec{k}+ f(x, y, z)=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}, calcular \operatorname{div}(\vec{v} \wedge \operatorname{grad} f).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec V = \bigl(a x^{2}-b y^{2}-c z^{2}\bigr)\,\vec\imath +\bigl(b y^{2}-a x^{2}-c z^{2}\bigr)\,\vec\jmath +\bigl(c z^{2}-a x^{2}-b y^{2}\bigr)\,\vec k
e a função escalar
f(x,y,z)=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}.
Pede-se \operatorname{div}\bigl(\vec V\wedge\operatorname{grad}f\bigr), ou seja, a divergência do produto vetorial entre \vec V e \nabla f. O conteúdo principal é cálculo vetorial: gradiente, rotacional, produto vetorial e divergência.

Passo 2

Calcular o gradiente de f. Por definição
\nabla f = \Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\,\frac{\partial f}{\partial y},\,\frac{\partial f}{\partial z}\Bigr) =(2a x,\,2b y,\,2c z).

Passo 3

Calcular o rotacional de \vec V. Usando
\nabla\times\vec V =\Bigl(\partial_{y}V_{z}-\partial_{z}V_{y},\; \partial_{z}V_{x}-\partial_{x}V_{z},\; \partial_{x}V_{y}-\partial_{y}V_{x}\Bigr),
obtemos
\nabla\times\vec V =(-2b y+2c z)\,\vec\imath +(-2c z+2a x)\,\vec\jmath +(-2a x+2b y)\,\vec k.

Passo 4

Usar a identidade de cálculo vetorial
\operatorname{div}(\vec A\times\vec B) =\vec B\cdot(\nabla\times\vec A)\;-\;\vec A\cdot(\nabla\times\vec B).
Aqui \vec A=\vec V e \vec B=\nabla f. Como \nabla\times(\nabla f)=\vec0, segue
\operatorname{div}(\vec V\times\nabla f) =\nabla f\cdot(\nabla\times\vec V).

Passo 5

Calcular o produto escalar
\nabla f\cdot(\nabla\times\vec V) =(2a x)(-2b y+2c z) +(2b y)(-2c z+2a x) +(2c z)(-2a x+2b y).
Expandindo e somando, todos os termos cancelam dois a dois, resultando em zero.

Resposta

0.

Exercícios relacionados