Em um circuito R=10 \Omega e C=50 \mu \widehat{2} a tensão aplicada e a frequência são tais que a corrente está adiantada de 30^{\circ}. Qual a mudança de frequência necessária para que a corrente fique avançada de 70^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma mudança de frequência:
  • Resistência: R=10\\ \Omega.
  • Capacitância: vou interpretar C=50\,\mu\text{F} (o enunciado escreveu 50\\ \mu \widehat{2}, então estou assumindo que isso significa 50\,\mu\text{F}). Se essa suposição estiver errada, o resultado muda proporcionalmente.
  • A corrente está adiantada em \,30^\circ na frequência inicial e queremos que ela fique adiantada em \,70^\circ.
  • Pergunta: qual a mudança de frequência necessária para isso? (vou calcular a frequência inicial f_1, a final f_2 e a variação \Delta f=f_2-f_1).

Passo 2

Conceito básico (explicadinho): em um circuito série R\!-\!C com tensão senoidal aplicada, a impedância complexa é
Z = R - jX_C,
onde X_C é a reatância capacitiva e vale
X_C=\frac{1}{\omega C},
com \omega sendo a pulsação ( \omega=2\pi f) e C a capacitância.
A corrente é I=V/Z. O ângulo de fase entre corrente e tensão (ou seja, quanto a corrente adianta a tensão) é
\varphi = \arg(I) = -\arg(Z).
Como \arg(Z)=\arctan\!\big(\frac{-X_C}{R}\big)=-\arctan\!\big(\frac{X_C}{R}\big), obtemos
\varphi=\arctan\!\Big(\frac{X_C}{R}\Big)=\arctan\!\Big(\frac{1}{\omega R C}\Big).
Explicando as variáveis:
  • \varphi: ângulo de adiantamento da corrente (positivo quando a corrente adianta a tensão).
  • \omega: pulsação em rad/s ( \omega=2\pi f).
  • R: resistência em ohms.
  • C: capacitância em farads.
    Portanto, a relação que usaremos é
\tan\varphi=\frac{1}{\omega R C}.

Passo 3

Isolando \omega da equação \tan\varphi=\dfrac{1}{\omega R C}, temos
\omega=\frac{1}{R C \tan\varphi}.
Depois a frequência é f=\dfrac{\omega}{2\pi}. Vou aplicar isso para \varphi_1=30^\circ e \varphi_2=70^\circ.

Passo 4

Calcule R C:
R C = 10\cdot 50\times 10^{-6}=500\times 10^{-6}=5\times 10^{-4}\\ \text{s}.

Passo 5

Frequência inicial: para \varphi_1=30^\circ usamos \tan 30^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx 0{,}5773502692. Então
\omega_1=\frac{1}{R C \tan 30^\circ}=\frac{1}{(5\times 10^{-4})\cdot 0{,}5773502692}\approx 3464{,}10\\ \text{rad/s}.
Convertendo para hertz:
f_1=\frac{\omega_1}{2\pi}\approx\frac{3464{,}10}{2\pi}\approx 551{,}3\\ \text{Hz}.

Passo 6

Frequência desejada: para \varphi_2=70^\circ usamos \tan 70^\circ\approx 2{,}7474774195. Então
\omega_2=\frac{1}{R C \tan 70^\circ}=\frac{1}{(5\times 10^{-4})\cdot 2{,}7474774195}\approx 727{,}05\\ \text{rad/s}.
Convertendo para hertz:
f_2=\frac{\omega_2}{2\pi}\approx\frac{727{,}05}{2\pi}\approx 115{,}8\\ \text{Hz}.

Passo 7

A mudança de frequência pedida é
\Delta f=f_2-f_1\approx 115{,}8 - 551{,}3 \approx -435{,}5\\ \text{Hz}.
O sinal negativo indica que é necessária uma redução da frequência. Em palavras: para aumentar o avanço de 30^\circ para 70^\circ no circuito RC dado, é preciso diminuir a frequência em cerca de 435{,}5\\ \text{Hz} (passando de \approx 551{,}3\\ \text{Hz} para \approx 115{,}8\\ \text{Hz}).

Resposta

\Delta f \approx -435{,}5\\ \text{Hz} (reduzir a frequência em 435{,}5\\ \text{Hz}; f_1\approx 551{,}3\\ \text{Hz}, f_2\approx 115{,}8\\ \text{Hz}).

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