3 impedâncias iguais de 42 \angle 45^{\circ} \Omega são ligadas em \Delta a um sistema A B C 3 \varphi, a 3 condutores, 350 V . Determinar as correntes de linha e a potência total.

Passo 1

Enunciado e dados que temos (recapitulando devagarinho para não se perder):
Temos três impedâncias iguais ligadas em \Delta. Cada impedância vale \;42\angle 45^\circ\\ \Omega. O sistema é trifásico A B C, com três condutores e tensão de linha (tensão entre fases) de \;350\\ \mathrm{V}. O que pedem: as correntes de linha e a potência total do sistema.
Observação importante (assumida porque o enunciado diz “3 condutores, 350 V”): a tensão apresentada \;350\\ \mathrm{V} é a tensão de linha (tensão entre duas fases), que é justamente a tensão aplicada a cada impedância no circuito em \Delta.

Passo 2

Entender como a tensão e a corrente se relacionam no arranjo em \Delta:
  • Em ligação \Delta, a tensão em cada ramo (chamarei de tensão de fase do delta) é a tensão de linha V_{LL}. Portanto cada ramo tem tensão \;V_{ramo}=350\angle\varphi_V\\ \mathrm{V}. Podemos escolher a referência de fase de tal forma que V_{AB}=350\angle 0^\circ (as outras fases ficam defasadas de -120^\circ e +120^\circ).
  • A corrente em cada ramo (corrente de fase do delta) é dada por Ohm em fasores: I_{ramo}=\dfrac{V_{ramo}}{Z}. Aqui Z=42\angle 45^\circ\\ \Omega.

Passo 3

Calcular a corrente em cada ramo (módulo e ângulo):
A magnitude da corrente de ramo é
|I_{ramo}|=\dfrac{|V_{ramo}|}{|Z|}=\dfrac{350}{42}=8{,}333\\ \mathrm{A}.
O ângulo da corrente de ramo é o ângulo da tensão menos o ângulo da impedância. Tomando V_{AB}=350\angle 0^\circ, temos
I_{AB}=\dfrac{350\angle 0^\circ}{42\angle 45^\circ}=8{,}333\angle (-45^\circ)\\ \mathrm{A}.
Os outros dois ramos são defasados em -120^\circ e +120^\circ:
I_{BC}=8{,}333\angle(-120^\circ-45^\circ)=8{,}333\angle(-165^\circ)\\ \mathrm{A},
I_{CA}=8{,}333\angle(120^\circ-45^\circ)=8{,}333\angle(75^\circ)\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Relação entre corrente de ramo ( \Delta) e corrente de linha: dedução em fasores (didática completa)
No nó associado à fase A a corrente de linha I_A é a soma (algebraica) das correntes dos ramos conectados: tomando sinais consistentes (corrente positiva saindo ou entrando conforme convenção), uma relação padrão é
I_A = I_{AB} - I_{CA}.
Agora fazemos a conta com os fasores balanceados. Escrevendo I_{AB}=I_p\angle\alpha com I_p=8{,}333\\ \mathrm{A} e \alpha=-45^\circ, temos I_{CA}=I_p\angle(\alpha+120^\circ). Então
I_A = I_p\bigl(e^{j\alpha}-e^{j(\alpha+120^\circ)}\bigr)=I_p e^{j\alpha}\bigl(1-e^{j120^\circ}\bigr).
Calculemos o fator 1-e^{j120^\circ}. Sabemos e^{j120^\circ}=-\tfrac{1}{2}+j\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
1-e^{j120^\circ}=\tfrac{3}{2}-j\tfrac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\angle(-30^\circ).
Portanto
I_A = I_p\sqrt{3}\angle(\alpha-30^\circ).
Isto mostra a forma geral útil: em \Delta balanceado
I_{linha}=\sqrt{3}\,I_{ramo}\angle(-30^\circ)
ou seja, a corrente de linha tem magnitude \sqrt{3} vezes a corrente de ramo e é defasada de -30^\circ em relação à corrente de ramo correspondente usada na subtração acima.

Passo 5

Aplicando a relação numérica para obter I_A, I_B e I_C:
Usando I_p=8{,}333\angle(-45^\circ) e a fórmula
I_A=\sqrt{3}\,I_p\angle(-30^\circ),
obtemos o módulo
|I_A|=\sqrt{3}\cdot 8{,}333=14{,}4338\\ \mathrm{A}\approx 14{,}43\\ \mathrm{A},
e o ângulo
\angle I_A = -45^\circ -30^\circ = -75^\circ.
Como o sistema é balanceado, as correntes de linha são defasadas de 120^\circ entre si:
I_A=14{,}43\angle(-75^\circ)\\ \mathrm{A},
I_B=14{,}43\angle(-75^\circ-120^\circ)=14{,}43\angle(-195^\circ)\\ \mathrm{A},
I_C=14{,}43\angle(-75^\circ+120^\circ)=14{,}43\angle(45^\circ)\\ \mathrm{A}.
(Observação: ângulos equivalentes como -195^\circ e 165^\circ são a mesma direção; use a forma que preferir.)

Passo 6

Cálculo da potência complexa total (aula rápida sobre potência em fasores):
Para um ramo qualquer a potência complexa é S_{ramo}=V_{ramo}\,I_{ramo}^*. Como I_{ramo}=V_{ramo}/Z, obtemos
S_{ramo}=\dfrac{|V_{ramo}|^2}{Z^*}.
Para o delta balanceado a potência total trifásica é três vezes a potência de um ramo:
S_{total}=3\,S_{ramo}=3\,\dfrac{|V_{LL}|^2}{Z^*}.
Isto é prático: usa-se a tensão de linha e a impedância do ramo do delta.

Passo 7

Aplicando numericamente para obter S_{total}, P e Q:
Calculando o valor numérico (lembrando que Z^*=42\angle(-45^\circ)):
S_{total}=3\cdot\dfrac{350^2}{42\angle(-45^\circ)}=8750\angle 45^\circ\\ \mathrm{VA}.
A potência ativa (real) e reativa são as componentes de S:
P_{total}=|S_{total}|\cos(45^\circ)=8750\cos 45^\circ\approx 6187{,}69\\ \mathrm{W},
Q_{total}=|S_{total}|\sin(45^\circ)=8750\sin 45^\circ\approx 6187{,}69\\ \mathrm{var}.
(O sinal positivo de Q indica comportamento indutivo, coerente com \angle Z=45^\circ.)

Resposta

Correntes de linha: I_A=14{,}43\angle(-75^\circ)\\ \mathrm{A},\; I_B=14{,}43\angle(-195^\circ)\\ \mathrm{A},\; I_C=14{,}43\angle(45^\circ)\\ \mathrm{A}.\n Potência total: \(S_{total}=8750\angle 45^\circ\\ \mathrm{VA},\; P_{total}=6187{,}69\\ \mathrm{W},\; Q_{total}=6187{,}69\\ \mathrm{var}.)

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