Um circuito RL sem f.e.m aplicada possui uma resistência de 50 ohms, uma indutância de 2 henrys e uma corrente inicial de 10 ampères.
a) Determine a corrente no circuito no instante
.
b) Determine o valor - limite da corrente para
. O que esse valor representa fisicamente no contexto do circuito?
c) Interprete fisicamente o comportamento da corrente ao longo do tempo. O que acontece com a energia armazenada no indutor?
a) Determine a corrente no circuito no instante
b) Determine o valor - limite da corrente para
c) Interprete fisicamente o comportamento da corrente ao longo do tempo. O que acontece com a energia armazenada no indutor?
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito RL (que é um circuito que possui uma resistência $ R $ e uma indutância $ L $) sem uma fonte de força eletromotriz (f.e.m) aplicada. As informações dadas são:
- Resistência ($ R $) = 50 ohms
- Indutância ($ L $) = 2 henrys
- Corrente inicial ($ I_0 $) = 10 ampères
Precisamos resolver três partes:
a) Determinar a corrente no circuito em um instante $ t $.
b) Encontrar o valor limite da corrente quando $ t $ tende ao infinito e interpretar fisicamente esse valor.
c) Interpretar como a corrente se comporta ao longo do tempo e o que acontece com a energia armazenada no indutor.
Para resolver isso, vamos usar algumas equações básicas de circuitos RL e entender como a corrente varia com o tempo.
Passo 2
Parte a: Determinar a corrente no circuito no instante $ t $.
Em um circuito RL sem fonte de tensão aplicada, a corrente inicia com um valor $ I_0 $ e decresce ao longo do tempo devido à resistência presente. A equação que descreve essa variação da corrente é:
Vamos entender cada parte dessa fórmula:
- $ I(t) $ é a corrente no tempo $ t $.
- $ I_0 $ é a corrente inicial, que é 10 ampères.
- $ R $ é a resistência, 50 ohms.
- $ L $ é a indutância, 2 henrys.
- $ t $ é o tempo.
- $ e $ é a base do logaritmo natural, aproximadamente 2,718.
Substituindo os valores fornecidos na fórmula:
Então, a expressão para a corrente no instante $ t $ é:
Passo 3
Parte b: Determinar o valor limite da corrente para $ t \rightarrow \infty $ e interpretar fisicamente esse valor.
Vamos calcular o limite da corrente conforme o tempo $ t $ vai para o infinito:
Sabemos que $ e^{-kt} $ tende a zero quando $ t $ tende ao infinito, onde $ k $ é uma constante positiva. Portanto:
Interpretação Física:
Fisicamente, esse resultado significa que, com o passar do tempo, a corrente no circuito RL sem uma fonte de tensão aplicada vai se aproximar de zero. Isso ocorre porque a resistência dissipa a energia elétrica, e, sem uma fonte para manter a corrente, ela eventualmente desaparece.
Passo 4
Parte c: Interpretar fisicamente o comportamento da corrente ao longo do tempo e o que acontece com a energia armazenada no indutor.
A equação $ I(t) = 10 \cdot e^{-25t} $ mostra que a corrente inicia em 10 ampères e decai exponencialmente até zero conforme o tempo aumenta.
Comportamento da Corrente:
- No início ($ t = 0 $): A corrente é máxima, igual a 10 ampères.
- Com o tempo aumentando: A corrente diminui rapidamente devido à resistência no circuito.
- Após muito tempo ($ t \rightarrow \infty $): A corrente praticamente desaparece.
Energia no Indutor:
O indutor armazena energia na forma de campo magnético quando a corrente está fluindo. Conforme a corrente diminui, essa energia armazenada no indutor é liberada e dissipada pela resistência do circuito como calor. Assim, a energia armazenada inicialmente no indutor é convertida e perdida no resistor ao longo do tempo.
Resposta
a) A corrente no circuito no instante $ t $ é $ I(t) = 10 \cdot e^{-25t} $ ampères.
b) O valor limite da corrente para $ t \rightarrow \infty $ é 0 ampères, representando que a corrente eventualmente desaparece no circuito.
c) Ao longo do tempo, a corrente decresce exponencialmente até zero, e a energia inicialmente armazenada no indutor é dissipada pela resistência como calor.