Encontre a equação da corrente
em um circuito onde a resistência é
, a indutância é
, a pilha fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor é ligado quanto
. Qual o valor-limite da corrente para
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito com uma resistência de
, uma indutância de
, e uma pilha que fornece uma voltagem constante de
. Quando a gente fecha o interruptor no tempo
, queremos descobrir como a corrente
varia com o tempo e qual é o valor que ela vai alcançar quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente de circuitos RL (Resistor-Indutor) e a Lei de Kirchhoff das Tensões.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação que descreve o circuito. Em um circuito RL, a soma das tensões nos elementos é igual à tensão da fonte. A tensão na resistência é dada por
e a tensão no indutor é
. Então, a equação fica:
Substituindo pelos valores, temos:
Passo 3
Agora, vamos organizar essa equação para resolver a equação diferencial. Vamos dividir todos os termos por 4 para simplificar:
Isso resulta em:
Reescrevendo para deixar a equação na forma padrão:
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem. A equação tem a forma:
onde
e
. A solução geral dessa equação é:
Substituindo os valores de
e
:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial. No instante
, antes de fechar o interruptor, a corrente é zero porque o indutor resiste à mudança de corrente. Então:
Isso simplifica para:
Portanto,
.
Substituindo
na equação de
:
Podemos fatorar o 5:
Passo 6
Agora, para encontrar o valor-limite da corrente quando
tende ao infinito, vamos calcular:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor-limite da corrente para
é
.