Encontre a equação da corrente I(t) em um circuito onde a resistência é 12 Omega, a indutância é 4 H, a pilha fornece uma voltagem constante de 60 V e o interruptor é ligado quanto t=0. Qual o valor-limite da corrente para t infty ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um circuito com uma resistência de 12,Omega, uma indutância de 4,H, e uma pilha que fornece uma voltagem constante de 60,V. Quando a gente fecha o interruptor no tempo t=0, queremos descobrir como a corrente I(t) varia com o tempo e qual é o valor que ela vai alcançar quando t tende ao infinito. Para resolver isso, vamos usar conceitos de circuitos elétricos, especialmente de circuitos RL (Resistor-Indutor) e a Lei de Kirchhoff das Tensões.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação que descreve o circuito. Em um circuito RL, a soma das tensões nos elementos é igual à tensão da fonte. A tensão na resistência é dada por VR = R cdot I(t) e a tensão no indutor é VL = L cdot dI(t)dt. Então, a equação fica:
V = VR + VL
Substituindo pelos valores, temos:
60 = 12 cdot I(t) + 4 cdot dI(t)dt

Passo 3

Agora, vamos organizar essa equação para resolver a equação diferencial. Vamos dividir todos os termos por 4 para simplificar:
604 = 124 cdot I(t) + dI(t)dt
Isso resulta em:
15 = 3 cdot I(t) + dI(t)dt
Reescrevendo para deixar a equação na forma padrão:
dI(t)dt + 3 cdot I(t) = 15

Passo 4

Agora, vamos resolver essa equação diferencial de primeira ordem. A equação tem a forma:
dI(t)dt + a cdot I(t) = b
onde a = 3 e b = 15. A solução geral dessa equação é:
I(t) = ba + C cdot e^-a t
Substituindo os valores de a e b:
I(t) = 153 + C cdot e^-3 t
Simplificando:
I(t) = 5 + C cdot e^-3 t

Passo 5

Para encontrar a constante C, usamos a condição inicial. No instante t=0, antes de fechar o interruptor, a corrente é zero porque o indutor resiste à mudança de corrente. Então:
I(0) = 0 = 5 + C cdot e^-3 cdot 0
Isso simplifica para:
0 = 5 + C cdot 1
Portanto, C = -5.
Substituindo C na equação de I(t):
I(t) = 5 - 5 cdot e^-3 t
Podemos fatorar o 5:
I(t) = 5 (1 - e^-3 t)

Passo 6

Agora, para encontrar o valor-limite da corrente quando t tende ao infinito, vamos calcular:
limt to infty I(t) = 5 (1 - e^-3 cdot infty)
Sabemos que e^-infty = 0, então:
limt to infty I(t) = 5 (1 - 0) = 5,A

Resposta

O valor-limite da corrente para t infty é 5,A.

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