Considerando a situação a seguir para resolver as questões 6 e 7 .Um pequeno objeto com massa de 5 kg é solto a partir do repouso de uma certa altura. Durante a queda, a resistência do ar é proporcional à velocidade, com constante de proporcionalidade k=2 kg / s. A aceleração da gravidade é g=9,8 m / s, e a velocidade inicial do objeto é zero.
Com base na situação apresentada responda:
a) Qual a equação diferencial que modela a velocidade v(t) do objeto em função do tempo.
b) Resolva a equação diferencial obtida e determine a velocidade v(t), considerando a condição inicial v(0)=0.
c) Determine a velocidade do objeto após 3 segundos.
d) Calcule a velocidade terminal (velocidade limite) do objeto.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um objeto de 5 kg sendo solto do repouso e caindo sob a influência da gravidade, mas com resistência do ar proporcional à velocidade. Queremos descobrir como a velocidade desse objeto muda ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre movimento com resistência do ar e resolver uma equação diferencial que descreve essa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como modelar a força que está agindo no objeto. Temos duas forças principais: a força da gravidade puxando o objeto para baixo e a resistência do ar que está empurrando para cima, proporcional à velocidade.
A força da gravidade é dada por:
Fgravidade = m cdot g
Onde:
  • $ m = 5 , kg $ (massa do objeto)
  • $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
A resistência do ar é proporcional à velocidade:
m = 5 , kg ê
Onde:
  • $ k = 2 , kg/s $ (constante de proporcionalidade)
  • $ v $ é a velocidade do objeto
A equação de movimento fica então:
g = 9,8 , m/s^2

Passo 3

A equação que acabamos de montar é uma equação diferencial de primeira ordem que descreve como a velocidade $ v(t) $ muda com o tempo. Reescrevendo a equação:
v(t)
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.

Passo 4

Vamos identificar os termos para aplicar o método do fator integrante:
A equação está na forma:
dvdt + P(t) cdot v = Q(t)
Onde:
  • $ P(t) = \frac{k}{m} $
  • $ Q(t) = g $
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
P(t) = km

Passo 5

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^km t cdot dvdt + e^km t cdot km cdot v = e^km t cdot g
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(t) \cdot v $:
mu(t) cdot v

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
t
Isso resulta em:
integral ddt ( e^km t cdot v ) dt = integral e^km t cdot g , dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para $ v(t) $:
v(t)
Agora, aplicamos a condição inicial $ v(0) = 0 $:
v(t) = g cdot mk + C cdot e^-km t
v(0) = 0

Passo 8

Substituindo $ C $ de volta na equação de $ v(t) $:
C
Simplificando com os valores dados:
v(t)
v(t) = g cdot mk ( 1 - e^-km t )

Resposta

A velocidade do objeto em função do tempo é:
v(t) = 24,5 ( 1 - e^-0,4 t ) , m/s

Exercícios relacionados