Considerando a situação a seguir para resolver as questões 6 e 7 .Um pequeno objeto com massa de 5 kg é solto a partir do repouso de uma certa altura. Durante a queda, a resistência do ar é proporcional à velocidade, com constante de proporcionalidade
. A aceleração da gravidade é
, e a velocidade inicial do objeto é zero.
Com base na situação apresentada responda:
a) Qual a equação diferencial que modela a velocidade
do objeto em função do tempo.
b) Resolva a equação diferencial obtida e determine a velocidade
, considerando a condição inicial
.
c) Determine a velocidade do objeto após 3 segundos.
d) Calcule a velocidade terminal (velocidade limite) do objeto.
Com base na situação apresentada responda:
a) Qual a equação diferencial que modela a velocidade
b) Resolva a equação diferencial obtida e determine a velocidade
c) Determine a velocidade do objeto após 3 segundos.
d) Calcule a velocidade terminal (velocidade limite) do objeto.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um objeto de 5 kg sendo solto do repouso e caindo sob a influência da gravidade, mas com resistência do ar proporcional à velocidade. Queremos descobrir como a velocidade desse objeto muda ao longo do tempo. Para isso, vamos precisar usar conceitos de física sobre movimento com resistência do ar e resolver uma equação diferencial que descreve essa situação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como modelar a força que está agindo no objeto. Temos duas forças principais: a força da gravidade puxando o objeto para baixo e a resistência do ar que está empurrando para cima, proporcional à velocidade.
A força da gravidade é dada por:
Onde:
- $ m = 5 , kg $ (massa do objeto)
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
A resistência do ar é proporcional à velocidade:
Onde:
- $ k = 2 , kg/s $ (constante de proporcionalidade)
- $ v $ é a velocidade do objeto
A equação de movimento fica então:
Passo 3
A equação que acabamos de montar é uma equação diferencial de primeira ordem que descreve como a velocidade $ v(t) $ muda com o tempo. Reescrevendo a equação:
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante.
Passo 4
Vamos identificar os termos para aplicar o método do fator integrante:
A equação está na forma:
Onde:
- $ P(t) = \frac{k}{m} $
- $ Q(t) = g $
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
O lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto $ \mu(t) \cdot v $:
Passo 6
Integrando ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para $ v(t) $:
Agora, aplicamos a condição inicial $ v(0) = 0 $:
Passo 8
Substituindo $ C $ de volta na equação de $ v(t) $:
Simplificando com os valores dados:
Resposta
A velocidade do objeto em função do tempo é: