No circuito apresentado temos os seguintes valores:
,
,
. Considere condições ideais (fios de grafeno supercondutores a temperatura e pressão ideais, etc). Quando a chave é conectada na posição A. Em
, temos que
.
Responda as questões abaixo considerando a chave
na posição A , permanecendo nesta posição por 4s.
(1 ponto) Determine a solução da E.D.O e determine a constante usando a condição fornecida no enunciado.
Responda as questões abaixo considerando a chave
(1 ponto) Determine a solução da E.D.O e determine a constante usando a condição fornecida no enunciado.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito elétrico com uma fonte de tensão de $ \varepsilon = 10 \mathrm{kV} $, um resistor de $ R = 2 \mathrm{k}\Omega $ e um capacitor de $ C = 2 \mathrm{mF} $. Estamos lidando com condições ideais, ou seja, fios supercondutores e tudo mais funcionando perfeitamente. A chave do circuito está na posição A e, no tempo $ t = 2 \mathrm{s} $, a corrente é $ i(t=1) = 0,5 \mathrm{mA} $. A tarefa é resolver a equação diferencial que descreve essa situação e encontrar a constante usando a condição fornecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender qual é a equação diferencial que descreve o comportamento desse circuito. Como temos um resistor e um capacitor, estamos lidando com um circuito RC. A Lei de Kirchhoff das Tensões nos diz que a soma das tensões no circuito deve ser igual à tensão fornecida pela fonte:
Onde:
- $ V_R = R \cdot i(t) $ é a tensão no resistor.
- $ V_C = \frac{1}{C} \int i(t) , dt $ é a tensão no capacitor.
Substituindo essas expressões na equação de Kirchhoff:
Passo 3
Para transformar essa equação em uma equação diferencial, vamos derivar ambos os lados em relação ao tempo $ t $:
Rearranjando os termos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem que descreve como a corrente $ i(t) $ varia com o tempo.
Passo 4
Agora, vamos resolver essa equação diferencial. A equação tem a forma:
Onde $ a = \frac{1}{RC} $. A solução geral dessa equação é:
Onde $ K $ é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição fornecida.
Passo 5
Vamos substituir $ a = \frac{1}{RC} $ na solução geral:
Agora, vamos calcular $ RC $ com os valores dados:
Então, a solução fica:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial para encontrar $ K $. A condição fornecida é que em $ t = 1 $ s, $ i(t) = 0,5 \mathrm{mA} $:
Resolvendo para $ K $:
Passo 7
Finalmente, substituímos $ K $ de volta na solução geral para obter a expressão completa para a corrente:
Resposta
A solução da equação diferencial é $ i(t) = 0,642 \times 10^{-3} \cdot e^{-\frac{t}{4}} $ amperes.