No circuito apresentado temos os seguintes valores: varepsilon=10 kV, R=2 kOmega, C=2 mF. Considere condições ideais (fios de grafeno supercondutores a temperatura e pressão ideais, etc). Quando a chave é conectada na posição A. Em t=2 s, temos que i(t=1)=0,5 mA.
Responda as questões abaixo considerando a chave S na posição A , permanecendo nesta posição por 4s.
(0,25 pontos ) Qual o valor de q(t=1 s)?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o problema: é um circuito RC de carga com ε=10 kV, R=2 kΩ e C=2 mF. A chave vai pra posição A em t=0 e permanece assim por 4 s. A gente mede que, em t=1 s, a corrente é
i(1,s) = 0,5;mA
O que a gente precisa achar é a carga no capacitor em t=1 s, ou seja, . Para isso, vamos usar a teoria de transiente em circuito RC: equação de Kirchhoff, EDO de carga e as fórmulas padrão de e .

Passo 2

Primeiro, monta a equação do laço (Lei de Kirchhoff das tensões):
varepsilon - R,i(t) - q(t)C = 0
Como dqdt + 1RC,q = varepsilonR, isso vira uma EDO de primeira ordem:

Passo 3

A solução dessa EDO, assumindo capacitor descarregado em q(t) ;=;varepsilon,C;l(1 - e^-t/(RC)r), i(t) ;=;varepsilonR;e^-t/(RC) , é conhecida:
Aqui definimos a constante de tempo .

Passo 4

Como a gente mede i(1) ;=;varepsilonR,e^-1/tau Longrightarrow e^-1/tau = i(1),Rvarepsilon , usamos a fórmula da corrente para achar i(1),Rvarepsilon = 0,5times10^-3times200010000 = 10^-4 Longrightarrow e^-1/tau=10^-4 Longrightarrow 1tau = -ln(10^-4) approx 9,21 :
therefore tau = 19,21approx0,1086;s
Substituindo , e :

Passo 5

Agora calculamos a carga em q(1) = varepsilon,C;l(1 - e^-1/taur) usando
q(1) = 20;l(1 - 10^-4r) approx 20 times 0,9999 approx 19,998;C
Sabendo que e que :

Resposta

q(1 s) ≈ 20 C.

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