(Circuito RC - carga) Um capacitor de capacitância C=20 \mu \mathrm{~F} é ligado em série com um resistor R=1.0 \mathrm{k} \Omega a uma bateria de 12 V . O circuito é fechado em t=0.
(a) Escreva a expressão para a carga q(t) no capacitor durante o processo de carga.
(b) Calcule a constante de tempo \tau do circuito.
(c) Determine a carga no capacitor em t=\tau e em t=3 \tau.
(d) Calcule a corrente no circuito em t=0 e em t=3 \tau.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perdermos no enunciado.
  • Dados fornecidos:
    • Capacitância: C=20\\ \mu\text{F}.
    • Resistência: R=1{,}0\\ \text{k}\Omega.
    • Tensão da bateria (tensão de alimentação): V_0=12\\ \text{V}.
    • O circuito é fechado em t=0 e o capacitor começa descarregado (implícito: carga inicial q(0)=0).
  • Perguntas:
    (a) Escrever a expressão para a carga q(t) no capacitor durante a carga.
    (b) Calcular a constante de tempo \tau do circuito.
    (c) Determinar a carga no capacitor em t=\tau e em t=3\tau.
    (d) Calcular a corrente no circuito em t=0 e em t=3\tau.

Passo 2

Entendendo a equação que governa o circuito e definindo variáveis.
Quando o capacitor está em série com o resistor e ligado a uma fonte de tensão V_0, a soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor deve igualar V_0 (lei de Kirchhoff). As variáveis e relações importantes:
  • q(t) é a carga no capacitor em função do tempo (unidade: coulomb, \mathrm{C}).
  • i(t) é a corrente no circuito em função do tempo (unidade: ampère, \mathrm{A}).
  • Relação entre corrente e carga: \displaystyle i(t)=\frac{dq}{dt}.
  • Queda de tensão no capacitor: \displaystyle V_C(t)=\frac{q(t)}{C}.
  • Queda de tensão no resistor (Lei de Ohm): \displaystyle V_R(t)=i(t)R.
A equação de malha (Kirchhoff) é:
V_0 - V_R(t) - V_C(t) = 0.
Substituindo V_R e V_C:
V_0 - R\frac{dq}{dt} - \frac{q}{C}=0.

Passo 3

Montando a equação diferencial para q(t).
Reescrevendo a equação anterior isolando os termos:
R\frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = V_0.
Dividindo por R para obter uma forma padrão:
\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC}\,q = \frac{V_0}{R}.
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo \displaystyle \frac{dq}{dt}+a q=b, com a=\dfrac{1}{RC} e b=\dfrac{V_0}{R}.

Passo 4

Resolvendo a equação diferencial passo a passo (método do fator integrante, mas aqui fazemos de forma direta explicando cada termo).
  1. Solução da homogênea ( b=0):
\frac{dq_h}{dt} + \frac{1}{RC}q_h = 0
que tem solução exponencial
q_h(t)=A e^{-t/(RC)},
onde A é constante determinada pela condição inicial.
  1. Uma solução particular constante para a equação completa é q_p= valor constante que satisfaz
\frac{1}{RC}q_p = \frac{V_0}{R}\quad\Rightarrow\quad q_p = C V_0.
(Isto faz sentido fisicamente: no regime estacionário (tempo grande) o capacitor fica totalmente carregado com q=C V_0.)
  1. Solução geral é soma das duas:
q(t)=q_p + q_h(t) = C V_0 + A e^{-t/(RC)}.
  1. Usar condição inicial q(0)=0 (capacitor descarregado em t=0):
0 = C V_0 + A e^{0} \quad\Rightarrow\quad A = -C V_0.
  1. Então obtemos a expressão final:
q(t)=C V_0\Big(1 - e^{-t/(RC)}\Big).

Passo 5

Interpretação da fórmula e significado dos parâmetros.
A expressão encontrada
q(t)=C V_0\Big(1 - e^{-t/(RC)}\Big)
significa que a carga parte de zero em t=0 e tende assintoticamente para C V_0 quando t\to\infty. O fator exponencial descreve a velocidade com que isso ocorre; a constante de tempo natural do circuito aparece no expoente: \tau = RC. Em linguagem simples: após um tempo igual a \tau, o capacitor atinge cerca de 63{,}2\% do valor final C V_0 (porque 1-e^{-1}\approx0{,}632).

Passo 6

Calcular numericamente a constante de tempo \tau.
\tau = R C.
Substituindo os valores (lembre que 20\\ \mu\text{F}=20\times10^{-6}\\ \mathrm{F} e 1{,}0\\ \text{k}\Omega=1000\\ \Omega):
\tau = (1000)\cdot(20\times10^{-6}) = 20\times10^{-3}\\ \mathrm{s} = 0{,}02\\ \mathrm{s}.
Em unidades práticas, \tau = 20\\ \text{ms}.

Passo 7

Calcular a carga em t=\tau.
Usar a expressão de q(t):
q(\tau)=C V_0\Big(1 - e^{-1}\Big).
Calcule C V_0:
C V_0 = (20\times10^{-6})\cdot 12 = 240\times10^{-6}\\ \mathrm{C} = 240\\ \mu\mathrm{C}.
Agora:
q(\tau) = 240\\ \mu\mathrm{C}\cdot\big(1 - e^{-1}\big)\approx 240\\ \mu\mathrm{C}\cdot 0{,}6321206 \approx 151{,}7\\ \mu\mathrm{C}.
Arredondando razoavelmente: q(\tau)\approx 152\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 8

Calcular a carga em t=3\tau.
Usar a mesma expressão:
q(3\tau)=C V_0\Big(1 - e^{-3}\Big).
Numérico:
q(3\tau)=240\\ \mu\mathrm{C}\cdot\big(1 - e^{-3}\big)\approx 240\\ \mu\mathrm{C}\cdot 0{,}950213 \approx 228{,}05\\ \mu\mathrm{C}.
Arredondando: q(3\tau)\approx 228\\ \mu\mathrm{C}.

Passo 9

Encontrar a expressão para a corrente i(t) e calcular valores em t=0 e t=3\tau.
Sabemos que \displaystyle i(t)=\frac{dq}{dt}. Diferenciando a expressão de q(t):
i(t)=\frac{d}{dt}\Big[ C V_0\big(1 - e^{-t/(RC)}\big)\Big] = C V_0\cdot\frac{1}{RC}\,e^{-t/(RC)}.
Simplificando C e R C:
i(t)=\frac{V_0}{R}\,e^{-t/(RC)}.
Isto é intuitivo: a corrente inicia em V_0/R e decai exponencialmente com a mesma constante de tempo \tau=RC.
Calcular i(0):
i(0)=\frac{V_0}{R} = \frac{12}{1000}\\ \mathrm{A} = 0{,}012\\ \mathrm{A} = 12\\ \mathrm{mA}.
Calcular i(3\tau):
i(3\tau)=\frac{V_0}{R} e^{-3} = 12\\ \mathrm{mA}\cdot e^{-3}\approx 12\\ \mathrm{mA}\cdot 0{,}0497871 \approx 0{,}5974\\ \mathrm{mA}.
Arredondando: i(3\tau)\approx 0{,}597\\ \mathrm{mA} (ou 0{,}000597\\ \mathrm{A}).

Resposta

(a) q(t)=C V_0\big(1 - e^{-t/(RC)}\big).
(b) \tau = R C = 0{,}02\\ \mathrm{s} (ou 20\\ \text{ms}).
(c) q(\tau)=240\\ \mu\mathrm{C}\big(1-e^{-1}\big)\approx 151{,}7\\ \mu\mathrm{C} \approx 152\\ \mu\mathrm{C}
q(3\tau)=240\\ \mu\mathrm{C}\big(1-e^{-3}\big)\approx 228{,}05\\ \mu\mathrm{C} \approx 228\\ \mu\mathrm{C}
(d) i(0)=\dfrac{V_0}{R}=0{,}012\\ \mathrm{A}=12\\ \mathrm{mA}
i(3\tau)=\dfrac{V_0}{R}e^{-3}\approx 0{,}000597\\ \mathrm{A}\approx 0{,}597\\ \mathrm{mA}

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