(Circuito RC - carga) Um capacitor de capacitância
é ligado em série com um resistor
a uma bateria de 12 V . O circuito é fechado em
.
(a) Escreva a expressão para a carga
no capacitor durante o processo de carga.
(b) Calcule a constante de tempo
do circuito.
(c) Determine a carga no capacitor em
e em
.
(d) Calcule a corrente no circuito em
e em
.
(a) Escreva a expressão para a carga
(b) Calcule a constante de tempo
(c) Determine a carga no capacitor em
(d) Calcule a corrente no circuito em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, para não nos perdermos no enunciado.
-
Dados fornecidos:
- Capacitância:
. - Resistência:
. - Tensão da bateria (tensão de alimentação):
. - O circuito é fechado em
e o capacitor começa descarregado (implícito: carga inicial ).
- Capacitância:
-
Perguntas:
(a) Escrever a expressão para a cargano capacitor durante a carga.
(b) Calcular a constante de tempodo circuito.
(c) Determinar a carga no capacitor eme em .
(d) Calcular a corrente no circuito eme em .
Passo 2
Entendendo a equação que governa o circuito e definindo variáveis.
Quando o capacitor está em série com o resistor e ligado a uma fonte de tensão , a soma das quedas de tensão no resistor e no capacitor deve igualar
(lei de Kirchhoff). As variáveis e relações importantes:
Quando o capacitor está em série com o resistor e ligado a uma fonte de tensão
-
é a carga no capacitor em função do tempo (unidade: coulomb, ). -
é a corrente no circuito em função do tempo (unidade: ampère, ). - Relação entre corrente e carga:
. - Queda de tensão no capacitor:
. - Queda de tensão no resistor (Lei de Ohm):
.
A equação de malha (Kirchhoff) é:
Substituindo
e
:
Passo 3
Montando a equação diferencial para
.
Reescrevendo a equação anterior isolando os termos:
Reescrevendo a equação anterior isolando os termos:
Dividindo por
para obter uma forma padrão:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
, com
e
.
Passo 4
Resolvendo a equação diferencial passo a passo (método do fator integrante, mas aqui fazemos de forma direta explicando cada termo).
- Solução da homogênea (
):
que tem solução exponencial
onde
é constante determinada pela condição inicial.
- Uma solução particular constante para a equação completa é
valor constante que satisfaz
(Isto faz sentido fisicamente: no regime estacionário (tempo grande) o capacitor fica totalmente carregado com
.)
- Solução geral é soma das duas:
- Usar condição inicial
(capacitor descarregado em ):
- Então obtemos a expressão final:
Passo 5
Interpretação da fórmula e significado dos parâmetros.
A expressão encontrada
A expressão encontrada
significa que a carga parte de zero em
e tende assintoticamente para
quando
. O fator exponencial descreve a velocidade com que isso ocorre; a constante de tempo natural do circuito aparece no expoente:
. Em linguagem simples: após um tempo igual a
, o capacitor atinge cerca de
do valor final
(porque
).
Passo 6
Calcular numericamente a constante de tempo
.
Substituindo os valores (lembre que
e
):
Em unidades práticas,
.
Passo 7
Calcular a carga em
.
Usar a expressão de :
Usar a expressão de
Calcule
:
Agora:
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 8
Calcular a carga em
.
Usar a mesma expressão:
Usar a mesma expressão:
Numérico:
Arredondando:
.
Passo 9
Encontrar a expressão para a corrente
e calcular valores em
e
.
Sabemos que . Diferenciando a expressão de
:
Sabemos que
Simplificando
e
:
Isto é intuitivo: a corrente inicia em
e decai exponencialmente com a mesma constante de tempo
.
Calcular
:
Calcular
:
Arredondando:
(ou
).
Resposta
(a)
.
(b) (ou
).
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)