(Corrente e resistência) Um fio cilíndrico de comprimento \ell=2.0 \mathrm{~m} e área de seção transversal A=1.0 \mathrm{~mm}^{2} é feito de um material com resistividade \rho=1.7 \times 10^{-8} \Omega \mathrm{~m}.
(a) Calcule a resistência do fio.
(b) Se aplicarmos uma ddp de 12 V entre suas extremidades, qual é a corrente que circula pelo fio?
(c) Qual é a densidade de corrente no fio?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que nos pede.
Dados fornecidos:
  • comprimento do fio: \ell=2,0\\ \mathrm{m}.
  • área de seção transversal: A=1,0\\ \mathrm{mm}^2.
  • resistividade do material: \rho=1,7\times10^{-8}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}.
  • ddp aplicada entre as extremidades (para a parte (b)): V=12\\ \mathrm{V}.
O enunciado pede:
(a) calcular a resistência do fio;
(b) calcular a corrente que circula pelo fio quando se aplica 12\\ \mathrm{V} entre as extremidades;
(c) calcular a densidade de corrente no fio.

Passo 2

Fórmula e conversão de unidades para calcular a resistência.
A relação entre resistividade \rho, resistência R, comprimento \ell e área A é dada por:
R = \rho\,\dfrac{\ell}{A}.
Explicando: \rho é a resistividade do material (medida de quão difícil é para os elétrons se moverem no material), \ell é o comprimento do fio e A é a área da seção transversal. A fórmula diz que resistência cresce com o comprimento e diminui com a área.
Primeiro convertemos a área de \mathrm{mm}^2 para \mathrm{m}^2. Sabendo que 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}, então
1,0\\ \mathrm{mm}^2 = 1,0\times(10^{-3}\\ \mathrm{m})^2 = 1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2.
Agora substituímos os valores na fórmula:
R = \rho\,\dfrac{\ell}{A} = \left(1,7\times10^{-8}\\ \Omega\!\cdot\!\mathrm{m}\right)\dfrac{2,0\\ \mathrm{m}}{1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2}.
Calculemos passo a passo os fatores numéricos e os expoentes:
\text{numerador} = 1,7\times10^{-8}\times 2,0 = 3,4\times10^{-8}.
R = \dfrac{3,4\times10^{-8}}{1,0\times10^{-6}} = 3,4\times10^{-8-(-6)} = 3,4\times10^{-2}\\ \Omega.
Convertendo para valor decimal:
R = 0,034\\ \Omega.
Observação sobre algarismos significativos: os dados têm aproximadamente duas casas significativas, então é razoável reportar R com duas casas significativas como 3,4\times10^{-2}\\ \Omega.

Passo 3

Cálculo da corrente usando a Lei de Ohm.
A Lei de Ohm para uma resistência ohmica relaciona tensão V, corrente I e resistência R:
V = I\,R.
Isolando a corrente:
I = \dfrac{V}{R}.
Substituindo V=12\\ \mathrm{V} e o valor calculado de R:
I = \dfrac{12\\ \mathrm{V}}{0,034\\ \Omega} \approx 352{,}941176\\ \mathrm{A}.
Arredondando com duas casas significativas (coerente com os dados), obtemos
I \approx 3,5\times10^{2}\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Cálculo da densidade de corrente.
A densidade de corrente (magnitude), J, é definida como a corrente por unidade de área da seção transversal:
J = \dfrac{I}{A}.
Explicando: J mede quantos amperes passam por metro quadrado; é uma grandeza útil para avaliar aquecimento e limites materiais.
Usando I \approx 352{,}941176\\ \mathrm{A} (valor não arredondado) e A=1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2:
J = \dfrac{352{,}941176\\ \mathrm{A}}{1,0\times10^{-6}\\ \mathrm{m}^2} = 3,52941176\times10^{8}\\ \mathrm{A/m}^2.
Arredondando com duas casas significativas:
J \approx 3,5\times10^{8}\\ \mathrm{A/m}^2.

Passo 5

Pequena interpretação e conselho para a prova.
  • A resistência é muito baixa ( 0,034\\ \Omega), por isso uma ddp de 12\\ \mathrm{V} gera uma corrente muito alta (ordem de centenas de ampères). Na prática isso causaria aquecimento e possivelmente derretimento do fio; por isso fios reais que conduzem correntes grandes têm áreas muito maiores.
  • Em prova, sempre verifique unidades (especialmente converter \mathrm{mm}^2 para \mathrm{m}^2) — esse é o erro mais comum.

Resposta

(a) R = 3,4\times10^{-2}\\ \Omega
(b) I = 3,5\times10^{2}\\ \mathrm{A}
(c) J = 3,5\times10^{8}\\ \mathrm{A/m}^2

Exercícios relacionados