Encontre a derivada das seguintes funções indicando explicitamente onde esta derivada existe:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j) Quais das funções acima são analíticas e quais são inteiras?
Passo 1
O enunciado pede a derivada complexa de cada função e o conjunto de pontos em que essa derivada existe (isto é, onde é diferenciável no sentido de Cauchy–Riemann). Finalmente, na parte (j) precisamos dizer quais das funções são analíticas (holomorfas em algum domínio aberto) e quais são inteiras (holomorfas em inteiro).
Passo 2
(a) .
Aplicando a regra do quociente:
Esse cálculo vale sempre que o denominador não seja nulo, ou seja em .
Passo 3
(b) .
Pela definição,
que depende da direção de h. Logo não existe limite — f não é diferenciável em nenhum ponto de C.
e percebe-se que o coeficiente de overline z não é zero, então pelas equações de Cauchy–Riemann f só pode ser diferenciável onde esse coeficiente some, isto é em z=0. Verifica-se por definição que f'(0)=0.
Passo 8
(g) f(z)=z^1/2.
Na escolha do ramo principal com corte em (-infty,0], a função é holomorfa em Csetminus(-infty,0] e
f'(z)=tfrac12,z^-1/2
Passo 9
(h) f(z)=(z^2-2),e^-x(cos y - isin y).
Como e^-x(cos y - isin y)=e^-x-iy=e^-z,
(j) Das funções acima:
– São analíticas (holomorfas em algum domínio aberto):
(a) em Csetminus-tfrac12,
(c) em Csetminus0,
(g) em Csetminus(-infty,0],
(h) em C,
(i) em C.
– Dessas, são inteiras (holomorfas em todo C): (h) e (i).
Resposta
As funções analíticas são
(a) em Csetminus-tfrac12,; (c) em Csetminus0,; (g) em Csetminus(-infty,0],; (h) em C,; (i) em C