Encontre a derivada das seguintes funções indicando explicitamente onde esta derivada existe:
(a) f(z)=z-12 z+1
(b) f(z)=barz
(c) f(z)=z^2(1+z^-2)^4
(d) f(z)=Re(z)
(e) f(z)=|z|^2
(f) f(z)=z Im(z)
(g) f(z)=z^1 / 2
(h) f(z)=(z^2-2) e^-x(cos y-i sin y)
(i) f(z)=exp (z^2)
(j) Quais das funções acima são analíticas e quais são inteiras?

Passo 1

O enunciado pede a derivada complexa f'(z) de cada função e o conjunto de pontos em que essa derivada existe (isto é, onde f é diferenciável no sentido de Cauchy–Riemann). Finalmente, na parte (j) precisamos dizer quais das funções são analíticas (holomorfas em algum domínio aberto) e quais são inteiras (holomorfas em C inteiro).

Passo 2

(a) f(z)=dfracz-12z+1.
Aplicando a regra do quociente:
f'(z) =(1)(2z+1)-(z-1)cdot2(2z+1)^2 =2z+1-2z+2(2z+1)^2 =3(2z+1)^2
Esse cálculo vale sempre que o denominador não seja nulo, ou seja em Csetminus-tfrac12.

Passo 3

(b) f(z)=z.
Pela definição,
f(z+h)-f(z)h =z+h-zh =hh,
que depende da direção de h. Logo não existe limite — f não é diferenciável em nenhum ponto de C.

Passo 4

(c) f(z)=z^2l(1+z^-2r)^4.
Escrevendo g(z)=l(1+z^-2r)^4, tem-se
g'(z) =4l(1+z^-2r)^3cdot(-2z^-3) =-8z^-3l(1+z^-2r)^3,
e depois
f'(z) =2z,g(z)+z^2g'(z) =2zl(1+z^-2r)^4 -8z^-1l(1+z^-2r)^3 =2,(z^2-3)(z^2+1)^3z^7
Essa expressão é válida em todo zneq0, pois havia termo z^-2 dentro de g.

Passo 5

(d) f(z)=Re(z).
Como Re(z+h)-Re(z)=Re(h),
f(z+h)-f(z)h =Re(h)h =tfrac12+h2h,
que também depende da direção de h. Logo não é diferenciável em nenhum ponto de C.

Passo 6

(e) f(z)=|z|^2=zoverline z.
Calculando
f(z+h)-f(z)h =zh+zh+|h|^2h =z+zhh+h,
o termo tfraczhh varia, salvo se z=0. Em z=0 temos
tfracf(h)-f(0)h=tfrac|h|^2h=hto0, então aí existe e vale 0. Portanto diferenciável só em z=0.

Passo 7

(f) f(z)=z,Im(z).
Escrevendo Im(z)=(z-overline z)/(2i),
f(z)=z^2 - zoverline z2i
e percebe-se que o coeficiente de overline z não é zero, então pelas equações de Cauchy–Riemann f só pode ser diferenciável onde esse coeficiente some, isto é em z=0. Verifica-se por definição que f'(0)=0.

Passo 8

(g) f(z)=z^1/2.
Na escolha do ramo principal com corte em (-infty,0], a função é holomorfa em Csetminus(-infty,0] e
f'(z)=tfrac12,z^-1/2

Passo 9

(h) f(z)=(z^2-2),e^-x(cos y - isin y).
Como e^-x(cos y - isin y)=e^-x-iy=e^-z,
f(z)=(z^2-2)e^-z, f'(z)=2z,e^-z-(z^2-2)e^-z =e^-z(2z-z^2+2)
Isso vale para todo zinC, logo é inteira.

Passo 10

(i) f(z)=exp(z^2).
É inteira e
f'(z)=2z,e^z^2

Passo 11

(j) Das funções acima:
– São analíticas (holomorfas em algum domínio aberto):
(a) em Csetminus-tfrac12,
(c) em Csetminus0,
(g) em Csetminus(-infty,0],
(h) em C,
(i) em C.
– Dessas, são inteiras (holomorfas em todo C): (h) e (i).

Resposta

As funções analíticas são
(a) em Csetminus-tfrac12,; (c) em Csetminus0,; (g) em Csetminus(-infty,0],; (h) em C,; (i) em C
Destas, as inteiras são
(h) e (i)

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