Um circuito R L C consiste em um resistor de 500 Omega, um indutor de 400 mH e um capacitor de 200 mu F.
a) Qual é a frequência de ressonância do circuito?
b) Em que frequências angulares a impedância será o dobro do seu valor na ressonância?

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e o que precisamos na mão:
– Temos um circuito série RLC com
R = 500 Ω
L = 400 mH = 0,4 H
C = 200 μF = 2·10⁻⁴ F
– Parte (a): quer a frequência de ressonância. A teoria diz que, em ressonância, a reatância indutiva e a capacitiva se anulam, e a frequência (em Hz) é
f0 = 12piraizLC,
– Parte (b): pede as velocidades angulares ω tais que a impedância do circuito passa a valer o dobro do valor em ressonância. Em ressonância a impedância é Z=R, então queremos |Z(jomega)| = 2R,
Pra isso vamos usar a fórmula da impedância de série:
Z(jomega) = R + jl(omega L - 1omega Cr),,
e impor raizR^2 + l(omega L - tfrac1omega Cr)^2 ;=; 2R,
A partir do próximo passo a gente mete a mão na massa.

Passo 2

Calcular a frequência de ressonância f0 ;=; 12piraizLC .
Fórmula:
raizLC=raiz0,4;times;2cdot10^-4=raiz8cdot10^-5approx8,9443cdot10^-3
Substituindo f0=12pi,8,9443cdot10^-3approx10,0562approx17,8;Hz H e F:

Passo 3

Agora a parte (b): queremos as |Z| = raizR^2 + l(omega L - tfrac1omega Cr)^2 = 2R tais que
R^2 + l(omega L - tfrac1omega Cr)^2 ;=;(2R)^2=4R^2 ;;Longrightarrow;; l(omega L - tfrac1omega Cr)^2 = 3R^2
Eleva ao quadrado e isola a parte imaginária:
omega L - 1omega C = pm Rraiz3
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Passo 4

A gente resolve a equação L,omega^2 ;mp; Rraiz3,omega ;-;1C = 0 .
  1. Multiplica tudo por (LC),omega^2 ;mp;(Rraiz3,C),omega ;-;1 = 0 :
    0,00008,omega^2 ;-;0,1732,omega ;-;1=0 e 0,00008,omega^2 ;+;0,1732,omega ;-;1=0
  2. Passa tudo pro mesmo lado: omega1approx 5,76;rad/s, omega2approx 2171,1;rad/s
  3. Para trabalhar melhor, multiplica por :
Agora coloca L, C e R nos coeficientes:
Então temos duas quadráticas do tipo
Calculando o discriminante e as raízes (só pegamos as positivas), aparecem

Resposta

a) omega approx 5,76;rad/s e omega approx 2171,1;rad/s
b) As duas velocidades angulares para são aproximadamente

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