Considere uma função de onda unidimensional que é descrita por psi(x)=A raizalpha-beta x^2 no intervalo -raizalphabeta <= x <=+raizalphabeta e nula para qualquer outro valor de x . Para o caso em que temos os valores alpha=10,6 e beta=13,1 m^-2, qual é a constante de normalização (A) desta função de onda?
Observação: A constante de normalização A é adimensional.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de onda unidimensional: psi(x) = A raizalpha - beta x^2 no intervalo -raizalphabeta <= x <= +raizalphabeta e zero fora desse intervalo. O que a gente precisa encontrar aqui é a constante de normalização A. Para normalizar uma função de onda, a gente precisa garantir que a integral do quadrado da função sobre todo o espaço seja igual a 1. Vamos precisar usar conceitos de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a condição de normalização. A condição é que a integral do módulo ao quadrado da função de onda psi(x) em todo o espaço seja igual a 1. Ou seja:
integral-infty^+infty |psi(x)|^2 , dx = 1
Mas, como psi(x) é zero fora do intervalo -raizalphabeta a +raizalphabeta, podemos simplificar a integral para esse intervalo:
integral-raizalphabeta^+raizalphabeta |psi(x)|^2 , dx = 1

Passo 3

Agora, vamos substituir psi(x) na integral:
|psi(x)|^2 = (A raizalpha - beta x^2)^2 = A^2 (alpha - beta x^2)
Então, a integral fica:
A^2 integral-raizalphabeta^+raizalphabeta (alpha - beta x^2) , dx = 1

Passo 4

Vamos resolver a integral integral (alpha - beta x^2) , dx:
integral (alpha - beta x^2) , dx = alpha x - beta3 x^3 + C
Agora, vamos calcular essa integral nos limites de -raizalphabeta a +raizalphabeta:
[ alpha x - beta3 x^3 ]-raizalphabeta^+raizalphabeta
Vamos substituir os limites:
Para x = +raizalphabeta:
alpha raizalphabeta - beta3 (raizalphabeta)^3 = alpha raizalphabeta - beta3 cdot alpha^3/2beta^3/2 = alpha raizalphabeta - alpha^3/23 beta^1/2
Para x = -raizalphabeta:
alpha (-raizalphabeta) - beta3 (-raizalphabeta)^3 = -alpha raizalphabeta - beta3 cdot (-alpha^3/2beta^3/2) = -alpha raizalphabeta + alpha^3/23 beta^1/2
Subtraindo, temos:
( alpha raizalphabeta - alpha^3/23 beta^1/2 ) - ( -alpha raizalphabeta + alpha^3/23 beta^1/2 ) = 2 alpha raizalphabeta - 2 alpha^3/23 beta^1/2
Podemos simplificar mais:
2 alpha raizalphabeta - 2 alpha^3/23 beta^1/2 = 6 alpha raizalphabeta - 2 alpha^3/2/raizbeta3 = 4 alpha^3/23 beta^1/2

Passo 5

Voltando à equação da normalização:
A^2 cdot 4 alpha^3/23 beta^1/2 = 1
Agora, vamos isolar A^2:
A^2 = 3 beta^1/24 alpha^3/2
E então, tirando a raiz quadrada dos dois lados, temos:
A = raiz 3 beta^1/24 alpha^3/2 = raiz32 cdot beta^1/4alpha^3/4

Passo 6

Agora, vamos substituir os valores dados: alpha = 10.6 e beta = 13.1 , m^-2.
Primeiro, calculamos beta^1/2 e alpha^3/2:
beta^1/2 = raiz13.1 approx 3.623
alpha^3/2 = (10.6)^3/2 = 10.6 times raiz10.6 approx 10.6 times 3.255 = 34.483
Agora, substituímos na expressão de A:
A = raiz 3 times 3.6234 times 34.483 = raiz 10.869137.932 approx raiz0.0787 approx 0.280

Resposta

A constante de normalização A é aproximadamente 0,280.

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