Em um circuito RC de descarga: R=2 \times 10^{3} \Omega, C=20 \mu \mathrm{~F} e V_{0}=12 \mathrm{~V}. Determine a corrente após 0.04 s .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a corrente no circuito RC de descarga no instante t=0,04\\ \mathrm{s}. Dados fornecidos:
  • R = 2\times10^{3}\\ \Omega.
  • C = 20\\ \mu\mathrm{F} = 20\times10^{-6}\\ \mathrm{F}.
  • V_{0} = 12\\ \mathrm{V}.
  • instante t = 0,04\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceito e fórmula básica (passo-a-passo didático):
  • Num circuito RC em descarga, a tensão no capacitor decai exponencialmente segundo
v_{C}(t)=V_{0}\,\mathrm{e}^{-t/(RC)}.
Aqui:
  • v_{C}(t) é a tensão no capacitor no instante t.
  • V_{0} é a tensão inicial no capacitor no instante t=0.
  • R e C são a resistência e capacitância do circuito.
  • RC é a constante de tempo do circuito, chamada \tau, ou seja \tau = RC.
  • A corrente no circuito é dada por i(t)=C\,\dfrac{dv_{C}}{dt}. Calculando a derivada de v_{C}(t):
\frac{dv_{C}}{dt} = -\frac{V_{0}}{RC}\,\mathrm{e}^{-t/(RC)}.
Multiplicando por C obtemos
i(t) = C\left(-\frac{V_{0}}{RC}\,\mathrm{e}^{-t/(RC)}\right) = -\frac{V_{0}}{R}\,\mathrm{e}^{-t/(RC)}.
  • Interpretação do sinal: o sinal negativo aparece porque a tensão do capacitor está decrescendo; se adotarmos como positivo o sentido da corrente durante a descarga (do polo positivo do capacitor através do resistor), então podemos falar em magnitude da corrente como
|i(t)| = \frac{V_{0}}{R}\,\mathrm{e}^{-t/(RC)}.
Vou apresentar tanto a expressão algébrica com sinal quanto o valor numérico da magnitude e explicar o sentido (descarrega pelo resistor).

Passo 3

Calcular a constante de tempo \tau = RC com os valores dados:
\tau = RC = \left(2\times10^{3}\right)\left(20\times10^{-6}\right) = 0,04\\ \mathrm{s}.
Observação útil e prática: aqui t dado é exatamente igual a \tau, ou seja t/\tau = 1. Isso simplifica a exponencial para \mathrm{e}^{-1}.

Passo 4

Calcular a corrente usando a fórmula. Primeiro calcule o fator \dfrac{V_{0}}{R}:
\frac{V_{0}}{R} = \frac{12}{2\times10^{3}} = 6\times10^{-3}\\ \mathrm{A} = 6{,}0\\ \mathrm{mA}.
Como t/\tau = 1, temos \mathrm{e}^{-t/(RC)}=\mathrm{e}^{-1}\approx0{,}367879. Portanto a corrente com sinal é
i(0,04) = -\frac{V_{0}}{R}\,\mathrm{e}^{-1} = -(6\times10^{-3})\times0{,}367879\\ \mathrm{A}.
Multiplicando:
i(0,04) \approx -2{,}2073\times10^{-3}\\ \mathrm{A} = -2{,}21\\ \mathrm{mA}.

Passo 5

Interpretação final e sentido:
  • O valor com sinal i(0,04) \approx -2{,}21\\ \mathrm{mA} indica que a corrente tem sentido de descarga (a escolha do sinal depende da convenção; neste cálculo usei a convenção que considera positiva a corrente entrando no capacitor).
  • Em termos práticos, a magnitude da corrente que percorre o resistor no instante t=0,04\\ \mathrm{s} é 2{,}21\\ \mathrm{mA}, direcionada conforme a descarga do capacitor (do terminal que estava positivo através do resistor para o terminal negativo).

Resposta

-2{,}21\\ \mathrm{mA} (corrente com sinal, indicando descarga)
2{,}21\\ \mathrm{mA} (valor absoluto da corrente; sentido: descarga do capacitor através do resistor)

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