Em um circuito RL, o qual é descrito pela equação:
L d id t+R cdot i=varepsilon
Use a solução da equação para mostrar que:
No tempo t=tauL=L / R a corrente atinge 0,63 varepsilon / R.

Passo 1

Beleza, tio, o enunciado diz: “Num circuito RL temos a equação
L didt + R,i = varepsilon
A missão é usar a solução dessa equação diferencial pra mostrar que no instante a corrente vale .
Conteúdo: ODE linear de 1ª ordem e constante de tempo em circuitos RL.
O que vamos precisar:
  • Resolver a ODE usando fator integrante.
  • Impor condição inicial (parte prática de ligar fonte num circuito sem corrente).
  • Calcular e aproximar .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a ODE
L didt + R,i = varepsilon
Isso é uma equação linear de 1ª ordem no formato
didt + RL,i = varepsilonL
Teoria básica: para uma equação
mu(t) = e^RLt , a gente usa o fator integrante
. Aqui é constante, então

Passo 3

Multiplica a ODE por e^RLtdidt + RLe^RLti = varepsilonLe^RLt :
ddtl(i,e^RLtr) = varepsilonLe^RLt
O lado esquerdo agora é a derivada do produto i,e^RLt = integral varepsilonLe^RLt,dt = varepsilonLcdot LR e^RLt + C = varepsilonRe^RLt + C . Então
Integramos em :

Passo 4

Agora isolamos i(t) = varepsilonR + C,e^-RLt :
0 = varepsilonR + Ccdot e^0 Longrightarrow C = -varepsilonR
Usamos a condição inicial típica de relés em RL: no instante que a fonte liga, não havia corrente, então i(t) = varepsilonRl(1 - e^-RLtr) . Substituindo:
Logo a solução completa é

Passo 5

Definimos a constante de tempo do indutor
i(tauL) = varepsilonRl(1 - e^-RL,tauLr) = varepsilonRl(1 - e^-1r) . Queremos 1 - e^-1 approx 0,6321 approx 0,63 :
Sabendo que , vem

Resposta

No tempo boxedi(tauL) = 0,63,varepsilonR , a corrente é

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