P. 4 Uma haste homogênea de comprimento d e momento de inércia I pode rodar, sem atrito, em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro P e é perpendicular ao plano x O y. Inicialmente a haste está em repouso na posição vertical. Um projétil de massa m e velocidade horizontal v colide com a haste, ficando incrustado na extremidade desta.
a) Qual é o momento resultante das forças aplicadas ao sistema haste + projétil durante a colisão?
b) Estabeleça uma expressão para a velocidade angular da haste, logo após a colisão, em função de v e d.

Passo 1

Beleza, olha o que o enunciado diz: a gente tem uma haste homogênea de comprimento , momento de inércia em relação ao seu centro (eixo perpendicular ao plano ). A haste está vertical e parada. Aí chega um projétil de massa com velocidade horizontal , bate na extremidade da haste e fica “incrustado”.
Conteúdo: dinâmica da rotação, torque (momento de forças) e conservação de momento angular.
O que vamos precisar:
  • Entender o que é torque externo e quando ele vale zero.
  • Aplicar conservação do momento angular em torno do pivô.

Passo 2

Questão (a): qual é o momento resultante das forças externas ao sistema haste+projétil durante a colisão?
Explicação da teoria: o torque (ou momento) de uma força é dado por
tau = vec r times vec F
Se a força passa pelo ponto pivô boxedMrm ext=0 , o vetor (que vai de até a linha de ação da força) é nulo ou paralelo, logo .
No nosso caso, o pivô fornece reação para manter a haste girando, mas essa reação passa justamente por . Outras forças (como peso) atuam, mas a colisão é tão rápida que elas podem ser desprezadas.
Logo, o momento resultante (torque resultante) das forças externas durante a colisão é

Passo 3

Questão (b): velocidade angular logo após a colisão.
  1. Por Lrm inicial = m,v,l(tfrac d2r) , o momento angular total em torno de Irm total = Irm haste + Irm projétil = I + ml(tfrac d2r)^2 se conserva durante a pancada.
  2. Momento angular inicial: só o projétil anda com velocidade, a haste está parada. A distância do pivô até o ponto de impacto é Lrm final = Irm total,omega = l(I + m,tfracd^24r),omega (metade do comprimento). Como m,v, d2 ;=;l(I + m,tfracd^24r),omega ;;Longrightarrow;; omega = m,v, d2,I + m,d^24, é perpendicular ao vetor posição,
  1. Depois da colisão, o projétil + a haste giram juntos com a mesma velocidade angular . O momento de inércia total é
é
  1. Momento angular final:
  1. Igualando :

Resposta

a) .
b)

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