P. 4 Uma haste homogênea de comprimento
e momento de inércia
pode rodar, sem atrito, em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro
e é perpendicular ao plano
. Inicialmente a haste está em repouso na posição vertical. Um projétil de massa
e velocidade horizontal
colide com a haste, ficando incrustado na extremidade desta.
a) Qual é o momento resultante das forças aplicadas ao sistema haste + projétil durante a colisão?
b) Estabeleça uma expressão para a velocidade angular da haste, logo após a colisão, em função de
e
.
a) Qual é o momento resultante das forças aplicadas ao sistema haste + projétil durante a colisão?
b) Estabeleça uma expressão para a velocidade angular da haste, logo após a colisão, em função de
Passo 1
Beleza, olha o que o enunciado diz: a gente tem uma haste homogênea de comprimento
, momento de inércia
em relação ao seu centro
(eixo perpendicular ao plano
). A haste está vertical e parada. Aí chega um projétil de massa
com velocidade horizontal
, bate na extremidade da haste e fica “incrustado”.
Conteúdo: dinâmica da rotação, torque (momento de forças) e conservação de momento angular.
O que vamos precisar:
Conteúdo: dinâmica da rotação, torque (momento de forças) e conservação de momento angular.
O que vamos precisar:
- Entender o que é torque externo e quando ele vale zero.
- Aplicar conservação do momento angular em torno do pivô.
Passo 2
Questão (a): qual é o momento resultante das forças externas ao sistema haste+projétil durante a colisão?
Explicação da teoria: o torque (ou momento) de uma força é dado por
Explicação da teoria: o torque (ou momento) de uma força é dado por
Se a força passa pelo ponto pivô
, o vetor
(que vai de
até a linha de ação da força) é nulo ou paralelo, logo
.
No nosso caso, o pivô fornece reação para manter a haste girando, mas essa reação passa justamente por . Outras forças (como peso) atuam, mas a colisão é tão rápida que elas podem ser desprezadas.
Logo, o momento resultante (torque resultante) das forças externas durante a colisão é
No nosso caso, o pivô fornece reação para manter a haste girando, mas essa reação passa justamente por
Logo, o momento resultante (torque resultante) das forças externas durante a colisão é
Passo 3
Questão (b): velocidade angular logo após a colisão.
- Por
, o momento angular total em torno de se conserva durante a pancada. - Momento angular inicial: só o projétil anda com velocidade, a haste está parada. A distância do pivô até o ponto de impacto é
(metade do comprimento). Como é perpendicular ao vetor posição,
- Depois da colisão, o projétil + a haste giram juntos com a mesma velocidade angular
. O momento de inércia total é
- Momento angular final:
- Igualando
:
Resposta
a)
.
b)
b)