Dois recipientes cilíndricos idênticos, A e B, com áreas de base 385,7 cm^2 e no mesmo nível, contêm um líquido de massa específica 1,20 kg / m^3. Em A a altura do líquido é de 3,47 m e em B, 4,22 m. Quando as bases de A e B são conectadas por um tubo, encontre o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis do líquido em A e B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois cilindros, A e B, que são iguais e têm a mesma área de base, que é 385,7 cm². Ambos estão no mesmo nível e contêm um líquido que tem uma massa específica de 1,20 kg/m³. No recipiente A, o líquido está até 3,47 metros de altura, e no B, até 4,22 metros. Quando a gente conecta as bases desses dois cilindros com um tubo, o nível do líquido vai se igualar nos dois. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o trabalho realizado pela força gravitacional para que isso aconteça.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a área da base de centímetros quadrados para metros quadrados, porque as alturas estão em metros. Sabemos que:
1 , m^2 = 10^4 , cm^2
Então,
A = 385,7 , cm^2 = 385,710^4 , m^2 = 0,03857 , m^2

Passo 3

Agora, vamos encontrar a altura final $ h_f $ quando os níveis do líquido se igualarem. Como os cilindros são idênticos, a massa total de líquido será distribuída igualmente. A massa total inicial nos dois recipientes é:
hf
Como a altura final é a mesma nos dois, temos:
mtotal = rho cdot A cdot hA + rho cdot A cdot hB
Igualando as duas expressões:
mtotal = rho cdot A cdot hf + rho cdot A cdot hf = 2 rho cdot A cdot hf
Podemos cancelar $ \rho $ e $ A $ dos dois lados:
rho cdot A cdot hA + rho cdot A cdot hB = 2 rho cdot A cdot hf
Substituindo os valores:
rho

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis. O trabalho é igual à variação de energia potencial gravitacional. A energia potencial de um líquido em um cilindro é dada por:
U = rho cdot g cdot A cdot h^22
Onde:
  • $ \rho $ é a massa específica (1,20 kg/m³)
  • $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente 9,81 m/s²)
  • $ A $ é a área da base (0,03857 m²)
  • $ h $ é a altura do líquido
A variação de energia potencial é:
rho
Calculando cada parte:
g
A
h
Subtraindo:
De
Vamos calcular numericamente:
UA = rho cdot g cdot A cdot hA^22 = 1,20 cdot 9,81 cdot 0,03857 cdot 3,47^22
UB = rho cdot g cdot A cdot hB^22 = 1,20 cdot 9,81 cdot 0,03857 cdot 4,22^22
Ufinal = 2 cdot rho cdot g cdot A cdot hf^22 = rho cdot g cdot A cdot hf^2
Então,
De

Resposta

O trabalho realizado pela força gravitacional para igualar os níveis do líquido nos recipientes A e B é de aproximadamente -0,129 J.

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