Um tanque usado para amortecer picos de vazão de líquido é conhecido por exibir dinâmica de segunda ordem. A taxa de fluxo de entrada nesse tanque muda repentinamente de 120 para
operador observa que o nível do tanque muda da seguinte forma: Antes da mudança de entrada o nível é 6 pés e constante. Quatro minutos depois o nível é 11 pés. Quarenta minutos depois o nível é 10 pés e estável, Encontre um modelo de função de transferência que descreva esse processo, pelo menos aproximadamente. Avalie todos os parâmetros em seu modelo, incluindo unidades.
Passo 1
O enunciado descreve um tanque com comportamento de segunda ordem cuja entrada é a vazão
em gal/min e cuja saída é o nível
em pés. A vazão sofre um degrau de 120 para 140 gal/min, levando o nível de 6 ft a um novo valor estável de 10 ft. Um modelo padrão de segunda ordem no domínio de Laplace é
onde
:é o ganho estático (ft por gal/min),
:é a frequência natural (rad/min) e
:é o fator de amortecimento adimensional.
Vamos determinar ,
e
.
Vamos determinar
Passo 2
Para o ganho estático usamos a variação em regime permanente: antes do degrau
ft, depois atinge
ft. A variação de entrada é
gal/min e a de saída
ft. Logo
Passo 3
Observa-se que 4 min após o degrau o nível atinge 11 ft, que é o primeiro pico de overshoot. O tempo do pico é
e o overshoot relativo é
Passo 4
No modelo de segunda ordem subamortecido vale
Igualando a 0,25 e resolvendo para
:
Passo 5
O pico ocorre em
Passo 6
Agora computamos os coeficientes do denominador e do numerador:
Portanto o modelo aproximado é