Um tanque usado para amortecer picos de vazão de líquido é conhecido por exibir dinâmica de segunda ordem. A taxa de fluxo de entrada nesse tanque muda repentinamente de 120 para 140 \mathrm{gal} / \mathrm{min} . \mathrm{Um} operador observa que o nível do tanque muda da seguinte forma: Antes da mudança de entrada o nível é 6 pés e constante. Quatro minutos depois o nível é 11 pés. Quarenta minutos depois o nível é 10 pés e estável, Encontre um modelo de função de transferência que descreva esse processo, pelo menos aproximadamente. Avalie todos os parâmetros em seu modelo, incluindo unidades.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque com comportamento de segunda ordem cuja entrada é a vazão u(t) em gal/min e cuja saída é o nível y(t) em pés. A vazão sofre um degrau de 120 para 140 gal/min, levando o nível de 6 ft a um novo valor estável de 10 ft. Um modelo padrão de segunda ordem no domínio de Laplace é
G(s)=\frac{Y(s)}{U(s)} \;=\; K\,\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}}
onde \;K:é o ganho estático (ft por gal/min), \;\omega_{n}:é a frequência natural (rad/min) e \;\zeta:é o fator de amortecimento adimensional.
Vamos determinar K, \zeta e \omega_{n}.

Passo 2

Para o ganho estático usamos a variação em regime permanente: antes do degrau y=6 ft, depois atinge y=10 ft. A variação de entrada é \Delta u=140-120=20 gal/min e a de saída \Delta y=10-6=4 ft. Logo
K \;=\;\frac{\Delta y}{\Delta u} =\frac{4}{20} =0,2\;\text{ft/(gal/min)}.

Passo 3

Observa-se que 4 min após o degrau o nível atinge 11 ft, que é o primeiro pico de overshoot. O tempo do pico é
t_{p}\approx 4\;\text{min},
e o overshoot relativo é
M_{p} =\frac{y_{\max}-y_{ss}}{\Delta y} =\frac{11-10}{4} =0,25.

Passo 4

No modelo de segunda ordem subamortecido vale
M_{p}=\exp\Bigl(-\zeta\frac{\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}\Bigr).
Igualando a 0,25 e resolvendo para \zeta:
\ln(0,25) =-\zeta\,\frac{\pi}{\sqrt{1-\zeta^{2}}} \quad\Longrightarrow\quad \zeta\approx 0,40.

Passo 5

O pico ocorre em
t_{p}=\frac{\pi}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}} \;\Longrightarrow\; \omega_{n}\sqrt{1-0,40^{2}} =\frac{\pi}{4} \;\Longrightarrow\; \omega_{n}\approx0,86\;\text{rad/min}.

Passo 6

Agora computamos os coeficientes do denominador e do numerador:
\omega_{n}^{2}\approx(0,86)^{2}=0,74,\quad 2\zeta\omega_{n}=2\cdot0,40\cdot0,86=0,69,
K\,\omega_{n}^{2} =0,2\cdot0,74 =0,15\;\text{(ft\cdotmin/gal)\,min}^{-2}.
Portanto o modelo aproximado é
G(s) =\frac{0,15}{s^{2}+0,69\,s+0,74} \quad\bigl[\text{ft/(gal/min)}\bigr].

Resposta

G(s) =\frac{0,15}{s^{2}+0,69\,s+0,74} \quad\text{ft\cdotmin/gal}.

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