Um processo eletricamente aquecido é conhecido por exibir dinâmica de segunda ordem com os seguintes valores de parâmetro: K=3^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{kW} ; \tau=3 \mathrm{~min} ; \xi=0,7. Se o processo inicialmente está em estado estacionário a 70^{\circ} \mathrm{C} com entrada do aquecedor de 20 kW e a entrada do aquecedor é repentinamente alterada para 26 kW e mantida nessa condição, qual será a expressão para a temperatura do processo em função do tempo? Qual será a temperatura máxima observada? Quando isso ocorrerá?

Passo 1

O enunciado descreve um processo de segunda ordem, subamortecido \xi=0,7, com ganho estático K=3 ^\circC/kW e constante de tempo \tau=3 min. Inicialmente o sistema está em regime permanente a 70 ^\circC com entrada u_0=20 kW. Em t=0 a entrada salta para u_1=26 kW e permanece constante. Precisamos obter a expressão T(t), o valor máximo e o instante em que ele ocorre.

Passo 2

Escrevendo o modelo canônico de segunda ordem, a função de transferência (entre variações de temperatura \Delta T e variações de potência \Delta u) é
G(s)=\frac{K}{\tau^2s^2+2\xi\tau s+1}
onde definimos a frequência natural
\omega_n=\frac{1}{\tau}=\frac{1}{3}\\ \text{min}^{-1}
e a frequência amortecida
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\xi^2} =\frac{1}{3}\sqrt{1-0,7^2} \approx0,238\\ \text{min}^{-1}\,.

Passo 3

O salto de entrada é
\Delta u=u_1-u_0=26-20=6\\ \text{kW}.
A variação final de temperatura em regime permanente vale
\Delta T_{\infty}=K\,\Delta u=3\cdot6=18\\ ^\circ\text{C}.
Como o valor inicial era 70 ^\circC, o novo polo em regime será
T_{\infty}=70+18=88\\ ^\circ\text{C}.

Passo 4

Para um sistema subamortecido, a resposta ao degrau (para t\ge0) é
T(t)=T_{\infty} -\Delta T_{\infty}\,\frac{e^{-\xi\omega_n t}}{\sqrt{1-\xi^2}} \, \sin\bigl(\omega_d\,t+\varphi\bigr)
onde \varphi=\operatorname{arccos}(\xi). Substituindo os valores:
T(t)=88 -18\;\frac{e^{-0,7\,(1/3)\,t}}{\sqrt{1-0,7^2}} \;\sin\!\bigl(0,238\,t+\operatorname{arccos}(0,7)\bigr).

Passo 5

O pico máximo ocorre no primeiro sobre-impulso, cujo índice é
M_p=e^{-\displaystyle\frac{\xi\pi}{\sqrt{1-\xi^2}}} =e^{-\displaystyle\frac{0,7\pi}{\sqrt{1-0,49}}} \approx0,064\quad(6,4\%).
A temperatura máxima é
T_{\max} = T_{\infty}\bigl(1+M_p\bigr) =88\,(1+0,064)\approx89,15\\ ^\circ\text{C}.
O tempo de pico é
t_p=\frac{\pi}{\omega_d} \approx\frac{\pi}{0,238}\approx13,2\\ \text{min}.

Resposta

Expressão da temperatura:
T(t)=88 -18\,\frac{e^{-0,7\,(1/3)\,t}}{\sqrt{1-0,7^2}} \sin\!\bigl(0,238\,t+\operatorname{arccos}(0,7)\bigr)\quad(^\circ\text{C}).
Temperatura máxima observada:
T_{\max}\approx89,15\\ ^\circ\text{C}
e ocorre em
t_p\approx13,2\\ \text{min}.

Exercícios relacionados