No circuito elétrico equivalente da máquina descrita a seguir, de quais quantidades depende o pico da corrente elétrica da barra do rotor, representado por \hat{I}_{\mathrm{r} a} ?
Motor de indução, 60 \mathrm{~Hz}, 208 \mathrm{~V} de linha, valor eficaz, 5 \mathrm{~kW}, R_{\mathrm{r}}^{\prime}=450 \mathrm{~m} \Omega e X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=830 \mathrm{~m} \Omega. O torque nominal é desenvolvido com escorregamento s=0,04.
Passo 1
O enunciado dá uma máquina de indução com as informações:
Frequência da rede: 60\\ \mathrm{Hz}.
Tensão de linha: 208\\ \mathrm{V} (valor eficaz).
Potência nominal: 5\\ \mathrm{kW}.
Resistência do rotor referida ao estator: R_{\mathrm{r}}' = 450\\ \mathrm{m}\Omega.
Reatância de fuga do rotor referida ao estator: X_{\ell\mathrm{r}}' = 830\\ \mathrm{m}\Omega.
O torque nominal ocorre em escorregamento s=0{,}04.
A pergunta é: de quais quantidades depende o pico da corrente elétrica da barra do rotor, representado por \hat{I}_{\mathrm{r}a} ?
Vou listar primeiro os dados úteis (acima) e em seguida responder passo a passo explicando a física e as fórmulas envolvidas.
Passo 2
Modelo e ideia física (sem formalismo pesado).
Em regime estacionário a máquina de indução é analisada por um circuito equivalente por fase referindo o rotor ao estator. Nesse circuito o ramo do rotor aparece com uma resistência efetiva \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s} em série com a reatância de fuga jX_{\ell\mathrm{r}}'.
A corrente do rotor por fase (na referência do estator) é a corrente que circula por essa série quando se aplica uma tensão “Thevenin” gerada pelo restante do circuito (estatórico + magnetização). Logo a amplitude da corrente do rotor depende da tensão aplicada ao ramo do rotor e da impedância desse ramo.
Passo 3
Escrever a relação elétrica básica (phasors em valores eficazes).
Seja E_{\text{th}} a tensão Thevenin por fase que aparece aos terminais do circuito equivalente do rotor (valor eficaz, phasor). Então a corrente fasorial do rotor referida é
Explicação didática do que aparece na fórmula (cada quantidade e por que influencia \hat{I}_{\mathrm{r}a}).
\boldsymbol{E_{\text{th}}}: é a tensão efetiva que “alimenta” o circuito do rotor no circuito equivalente. Depende da tensão de alimentação do estator (por exemplo a tensão de fase \,V_{\text{ph}}=\dfrac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}\, se ligação em estrela), e depende também dos parâmetros do estator (resistência, reatância) e da reatância de magnetização. Em termos práticos: quanto maior a tensão aplicada ao estator (ou quanto menor a queda interna no estator), maior será E_{\text{th}} e maior será \hat{I}_{\mathrm{r}a}.
\boldsymbol{R_{\mathrm{r}}'} e \boldsymbol{X_{\ell\mathrm{r}}'}: são os parâmetros do rotor referidos ao estator que definem a impedância série do rotor. Eles aparecem no denominador e, portanto, maior R_{\mathrm{r}}' ou maior X_{\ell\mathrm{r}}' reduzem a corrente para uma mesma E_{\text{th}}.
\boldsymbol{s} (escorregamento): aparece dentro de \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}. Isso é crucial: quando s diminui (motor aproxima-se da velocidade síncrona), \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s} cresce e a corrente do rotor diminui; quando s aumenta (por exemplo arrancada s\approx1), \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s} diminui e a corrente pode aumentar. Assim a corrente do rotor depende fortemente do escorregamento. No enunciado foi dado s=0{,}04; esse valor define a resistência efetiva \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}.
\boldsymbol{f} (frequência): a reatância de fuga X_{\ell\mathrm{r}}' é proporcional à frequência ( X_{\ell\mathrm{r}}' = 2\pi f L_{\ell\mathrm{r}}' ), portanto variações na frequência de alimentação mudam X_{\ell\mathrm{r}}' e assim a corrente. No enunciado f=60\\ \mathrm{Hz}, logo o valor numérico de X_{\ell\mathrm{r}}' está associado a essa frequência.
Outras influências indiretas: temperatura (altera \,R_{\mathrm{r}}'\,), conexão do enrolamento (estrela/triângulo — altera tensão de fase), e perdas/coeficientes que mudam E_{\text{th}}. Todos esses afetam \hat{I}_{\mathrm{r}a} indiretamente via E_{\text{th}}, R_{\mathrm{r}}' ou X_{\ell\mathrm{r}}'.
Passo 5
Exemplo rápido e interpretativo (para fixar): usando a fórmula de módulo, se E_{\text{th}} fosse fixo e compararmos dois escorregamentos s_1<s_2, então
Isto explica por que a corrente do rotor é grande na partida (s\approx1) e pequena perto da rotação síncrona (s muito baixo). Também mostra que, para diminuir picos de corrente, pode-se aumentar resistência rotor-referida (ex.: resistência externa em rotor de rotor bobinado) ou reduzir tensão aplicada.
Passo 6
Resumo operacional do que precisa ser conhecido para determinar numericamente \hat{I}_{\mathrm{r}a}:
A tensão Thevenin por fase E_{\text{th}} (que requer conhecer V_{\text{linha}} e os parâmetros do estator e magnetização ou assumir E_{\text{th}}\approx V_{\text{ph}} em aproximações).
A resistência do rotor referida R_{\mathrm{r}}' (dada).
A reatância de fuga do rotor referida X_{\ell\mathrm{r}}' (dada).
O escorregamento s (dado ou função do carregamento).
A frequência f (pois determina X_{\ell\mathrm{r}}' se fosse necessário recalcular).
Com esses itens a fórmula do Passo 3 fornece \hat{I}_{\mathrm{r}a}.
Resposta
\displaystyle \hat{I}_{\mathrm{r}a}=\sqrt{2}\,\frac{E_{\text{th}}}{\sqrt{\left(\dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}\right)^{2}+\bigl(X_{\ell\mathrm{r}}'\bigr)^{2}}}, portanto \hat{I}_{\mathrm{r}a} depende de E_{\text{th}} (logo da tensão de alimentação por fase e dos parâmetros do estator/magnetização), de R_{\mathrm{r}}', de X_{\ell\mathrm{r}}' (que depende de f), e do escorregamento s.