No circuito elétrico equivalente da máquina descrita a seguir, de quais quantidades depende o pico da corrente elétrica da barra do rotor, representado por \hat{I}_{\mathrm{r} a} ?
Motor de indução, 60 \mathrm{~Hz}, 208 \mathrm{~V} de linha, valor eficaz, 5 \mathrm{~kW}, R_{\mathrm{r}}^{\prime}=450 \mathrm{~m} \Omega e X_{\ell \mathrm{r}}^{\prime}=830 \mathrm{~m} \Omega. O torque nominal é desenvolvido com escorregamento s=0,04.

Passo 1

O enunciado dá uma máquina de indução com as informações:
  • Frequência da rede: 60\\ \mathrm{Hz}.
  • Tensão de linha: 208\\ \mathrm{V} (valor eficaz).
  • Potência nominal: 5\\ \mathrm{kW}.
  • Resistência do rotor referida ao estator: R_{\mathrm{r}}' = 450\\ \mathrm{m}\Omega.
  • Reatância de fuga do rotor referida ao estator: X_{\ell\mathrm{r}}' = 830\\ \mathrm{m}\Omega.
  • O torque nominal ocorre em escorregamento s=0{,}04.
A pergunta é: de quais quantidades depende o pico da corrente elétrica da barra do rotor, representado por \hat{I}_{\mathrm{r}a} ?
Vou listar primeiro os dados úteis (acima) e em seguida responder passo a passo explicando a física e as fórmulas envolvidas.

Passo 2

Modelo e ideia física (sem formalismo pesado).
  • Em regime estacionário a máquina de indução é analisada por um circuito equivalente por fase referindo o rotor ao estator. Nesse circuito o ramo do rotor aparece com uma resistência efetiva \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s} em série com a reatância de fuga jX_{\ell\mathrm{r}}'.
  • A corrente do rotor por fase (na referência do estator) é a corrente que circula por essa série quando se aplica uma tensão “Thevenin” gerada pelo restante do circuito (estatórico + magnetização). Logo a amplitude da corrente do rotor depende da tensão aplicada ao ramo do rotor e da impedância desse ramo.

Passo 3

Escrever a relação elétrica básica (phasors em valores eficazes).
  • Seja E_{\text{th}} a tensão Thevenin por fase que aparece aos terminais do circuito equivalente do rotor (valor eficaz, phasor). Então a corrente fasorial do rotor referida é
I_{\mathrm{r}}' \;=\; \frac{E_{\text{th}}}{\dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s} + j X_{\ell\mathrm{r}}'}.
  • O módulo (valor eficaz) dessa corrente é
\left|I_{\mathrm{r}}'\right| \;=\; \frac{E_{\text{th}}}{\sqrt{\left(\dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}\right)^{2} + \bigl(X_{\ell\mathrm{r}}'\bigr)^{2}}}.
  • Se a pergunta pedir o pico (amplitude de pico senoidal) \hat{I}_{\mathrm{r}a}, e se os símbolos acima forem valores eficazes (rms), então
\hat{I}_{\mathrm{r}a} \;=\; \sqrt{2}\,\left|I_{\mathrm{r}}'\right| \;=\; \sqrt{2}\,\frac{E_{\text{th}}}{\sqrt{\left(\dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}\right)^{2} + \bigl(X_{\ell\mathrm{r}}'\bigr)^{2}}}.

Passo 4

Explicação didática do que aparece na fórmula (cada quantidade e por que influencia \hat{I}_{\mathrm{r}a}).
  • \boldsymbol{E_{\text{th}}}: é a tensão efetiva que “alimenta” o circuito do rotor no circuito equivalente. Depende da tensão de alimentação do estator (por exemplo a tensão de fase \,V_{\text{ph}}=\dfrac{V_{\text{linha}}}{\sqrt{3}}\, se ligação em estrela), e depende também dos parâmetros do estator (resistência, reatância) e da reatância de magnetização. Em termos práticos: quanto maior a tensão aplicada ao estator (ou quanto menor a queda interna no estator), maior será E_{\text{th}} e maior será \hat{I}_{\mathrm{r}a}.
  • \boldsymbol{R_{\mathrm{r}}'} e \boldsymbol{X_{\ell\mathrm{r}}'}: são os parâmetros do rotor referidos ao estator que definem a impedância série do rotor. Eles aparecem no denominador e, portanto, maior R_{\mathrm{r}}' ou maior X_{\ell\mathrm{r}}' reduzem a corrente para uma mesma E_{\text{th}}.
  • \boldsymbol{s} (escorregamento): aparece dentro de \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}. Isso é crucial: quando s diminui (motor aproxima-se da velocidade síncrona), \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s} cresce e a corrente do rotor diminui; quando s aumenta (por exemplo arrancada s\approx1), \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s} diminui e a corrente pode aumentar. Assim a corrente do rotor depende fortemente do escorregamento. No enunciado foi dado s=0{,}04; esse valor define a resistência efetiva \dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}.
  • \boldsymbol{f} (frequência): a reatância de fuga X_{\ell\mathrm{r}}' é proporcional à frequência ( X_{\ell\mathrm{r}}' = 2\pi f L_{\ell\mathrm{r}}' ), portanto variações na frequência de alimentação mudam X_{\ell\mathrm{r}}' e assim a corrente. No enunciado f=60\\ \mathrm{Hz}, logo o valor numérico de X_{\ell\mathrm{r}}' está associado a essa frequência.
  • Outras influências indiretas: temperatura (altera \,R_{\mathrm{r}}'\,), conexão do enrolamento (estrela/triângulo — altera tensão de fase), e perdas/coeficientes que mudam E_{\text{th}}. Todos esses afetam \hat{I}_{\mathrm{r}a} indiretamente via E_{\text{th}}, R_{\mathrm{r}}' ou X_{\ell\mathrm{r}}'.

Passo 5

Exemplo rápido e interpretativo (para fixar): usando a fórmula de módulo, se E_{\text{th}} fosse fixo e compararmos dois escorregamentos s_1<s_2, então
\frac{R_{\mathrm{r}}'}{s_1}>\frac{R_{\mathrm{r}}'}{s_2}\quad\Rightarrow\quad \bigl|I_{\mathrm{r}}'(s_1)\bigr|<\bigl|I_{\mathrm{r}}'(s_2)\bigr|.
Isto explica por que a corrente do rotor é grande na partida ( s\approx1) e pequena perto da rotação síncrona ( s muito baixo). Também mostra que, para diminuir picos de corrente, pode-se aumentar resistência rotor-referida (ex.: resistência externa em rotor de rotor bobinado) ou reduzir tensão aplicada.

Passo 6

Resumo operacional do que precisa ser conhecido para determinar numericamente \hat{I}_{\mathrm{r}a}:
  • A tensão Thevenin por fase E_{\text{th}} (que requer conhecer V_{\text{linha}} e os parâmetros do estator e magnetização ou assumir E_{\text{th}}\approx V_{\text{ph}} em aproximações).
  • A resistência do rotor referida R_{\mathrm{r}}' (dada).
  • A reatância de fuga do rotor referida X_{\ell\mathrm{r}}' (dada).
  • O escorregamento s (dado ou função do carregamento).
  • A frequência f (pois determina X_{\ell\mathrm{r}}' se fosse necessário recalcular).
    Com esses itens a fórmula do Passo 3 fornece \hat{I}_{\mathrm{r}a}.

Resposta

\displaystyle \hat{I}_{\mathrm{r}a}=\sqrt{2}\,\frac{E_{\text{th}}}{\sqrt{\left(\dfrac{R_{\mathrm{r}}'}{s}\right)^{2}+\bigl(X_{\ell\mathrm{r}}'\bigr)^{2}}}, portanto \hat{I}_{\mathrm{r}a} depende de E_{\text{th}} (logo da tensão de alimentação por fase e dos parâmetros do estator/magnetização), de R_{\mathrm{r}}', de X_{\ell\mathrm{r}}' (que depende de f), e do escorregamento s.

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