Usando integral dupla calcule a área da região delimitada pelas curvas x=y^2-1 e x=2 y^2-2.
Escolha uma opção:
a. 43
b. 83
c. Nenhuma das Respostas
d. -43
e. 34

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área da região que fica entre as curvas e . Para isso, vamos usar integrais duplas, que são ferramentas da matemática para achar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas duas curvas se encontram. Isso vai nos dar os limites de integração. Igualamos as duas equações:
y^2 - 1 = 2y^2 - 2

Passo 3

Resolvendo essa equação:
y^2 - 1 = 2y^2 - 2 - y^2 = -1 y^2 = 1 y = 1 e y = -1
Então, as curvas se intersectam quando e .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral dupla para calcular a área. A área A = integral-1^1 ( (y^2 - 1) - (2y^2 - 2) ) dy entre as curvas será:
Aqui, é a função de cima e é a de baixo.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(y^2 - 1) - (2y^2 - 2) = y^2 - 1 - 2y^2 + 2 = -y^2 + 1
Então, a integral fica:
A = integral-1^1 (-y^2 + 1) dy

Passo 6

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-y^2) dy + integral 1 dy = -y^33 + y
Avaliado de ( -(1)^33 + 1 ) - ( -(-1)^33 + (-1) ) = ( -13 + 1 ) - ( 13 - 1 ) a :

Passo 7

Simplificando:
( 23 ) - ( -23 ) = 23 + 23 = 43

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é . Portanto, a opção correta é:
a.

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