Um circuito elétrico do tipo R L possui uma fonte DC de voltagem constante E0. Suponha que a chave do circuito é fechada no tempo t=0. determine a corrente I=I(t) no circuito. Calcule lim t infty I(t). Em quanto tempo após o circuito ser fechado, a corrente atinge 90 % de seu valor limite?

Passo 1

Estamos com um circuito RL alimentado por uma fonte DC de tensão constante E0. A chave fecha em t=0. Nosso objetivo é encontrar a corrente I(t), o valor de regime limttoinftyI(t) e o tempo para atingir 90% desse valor. Para isso vamos usar a Lei de Kirchhoff de tensões e resolver a equação diferencial de primeira ordem associada.

Passo 2

Aplicamos a Lei de Kirchhoff: a soma das tensões em R e L deve igualar E0. Isso dá a equação diferencial de primeira ordem:
LdIdt + R I = E0
A condição inicial, antes de fechar a chave, é I(0)=0.

Passo 3

Para resolver a EDO, usamos o método de solução geral (parte homogênea + particular). A solução particular é Ip = E0/R. A homogênea é Ih = A e^-tfracRLt. Combinando e aplicando I(0)=0, obtemos
I(t) = E0R(1 - e^-tfracRLt)

Passo 4

Para ttoinfty, o termo exponencial se anula e então
limttoinftyI(t) = E0R

Passo 5

Para achar o tempo em que I(t) atinge 90% do valor de regime, impomos I(t90) = 0,9tfracE0R. Isso leva a 1 - e^-tfracRLt90 = 0,9, ou e^-tfracRLt90 = 0,1. Logo
t90 = LRln(10)

Resposta

I(t) = E0Rl(1 - e^-tfracRLtr); limttoinftyI(t) = E0R; t90% = LRln(10).

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