Considere a equação y^prime+(cos t) y=e^-sin t.
Determine a solução y tal que y(pi)=pi.

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial linear de primeira ordem y'+(cos t),y=e^-sin t com a condição inicial y(pi)=pi. O conteúdo é ODE linear e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
mu(t)=expl(integralcos t,dtr)=e^sin t
Multiplicamos a equação original por mu(t).

Passo 3

O lado esquerdo se torna a derivada do produto y e^sin t. De fato,
ddtl(y e^sin tr)=y' e^sin t+ycos t,e^sin t
Logo a equação vira
ddtl(y e^sin tr)=1 .

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t, obtendo
y e^sin t=integral1,dt=t+C

Passo 5

Isolamos y:
y(t)=e^-sin t(t+C)

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(pi)=pi. Como sinpi=0, temos
pi=e^0(pi+C)implies C=0

Passo 7

Substituindo C=0 na solução geral, chegamos a
y(t)=t,e^-sin t

Resposta

y(t)=t,e^-sin t

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