Considere a equação y^prime+(cos t) y=e^-sin t.
É verdade que toda solução y tem a propriedade
y(k pi)-y(0)=k pi
para k in Z ?

Passo 1

Temos a equação diferencial linear de primeira ordem y'+(cos t)y=e^-sin t. O conteúdo é Equações Lineares de 1º ordem e vamos precisar usar o fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral cos t,dt=e^sin t. Multiplicando a equação original por mu(t) torna-se
e^sin ty'+e^sin t(cos t)y= e^sin te^-sin t=1
O lado esquerdo é a derivada de y e^sin t.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
ddtl(y e^sin tr)=1 Longrightarrow y e^sin t=t+C,
onde C é constante de integração. Logo
y(t)=(t+C)e^-sin t

Passo 4

Agora avaliamos a solução em t=kpi e t=0. Como sin(kpi)=0 e sin0=0, temos
y(kpi)=(kpi+C)e^0=kpi+C,
y(0)=(0+C)e^0=C

Passo 5

Subtraindo, obtemos
y(kpi)-y(0)=(kpi+C)-C=kpi
Portanto, toda solução satisfaz y(kpi)-y(0)=kpi para todo kin Z.

Resposta

Sim. De fato, para toda solução da equação vale y(kpi)-y(0)=kpi.

Exercícios relacionados