Um circuito eletrônico responde a um sinal de entrada com um atraso
, modelado como uma variável aleatória uniforme no intervalo [2,5] milissegundos.
- Determine a função densidade de probabilidade (f.d.p) de
.
- Calcule a probabilidade de que o tempo de resposta seja menor que 4 ms .
- Determine o valor esperado e a variância do tempo de resposta.
- Se forem realizados 100 testes desse circuito, quantos deles devem, em média, ter um tempo de resposta maior que 3.5 ms ?
Passo 1
Beleza, o exercício tá dizendo que o tempo de resposta
de um circuito é uma variável aleatória uniforme no intervalo
milissegundos. A matéria aqui é Distribuições Contínuas (especificamente a Uniforme).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Saber como escrever a densidade da Uniforme.
- Calcular probabilidade via integral da densidade.
- Usar as fórmulas de valor esperado e variância para Uniforme.
- Entender que, em 100 testes independentes, o número médio de êxitos é
vezes a probabilidade de cada êxito.
Passo 2
Primeiro manda ver na função densidade de probabilidade (f.d.p) de
.
Para uma Uniforme em , a f.d.p é
Para uma Uniforme em
Aqui
e
, então
Passo 3
Agora calcula a probabilidade de
.
A probabilidade é a integral da f.d.p de 2 até 4:
A probabilidade é a integral da f.d.p de 2 até 4:
Passo 4
Bora achar o valor esperado e a variância.
- Para Uniforme
,
Substituindo
,
:
Passo 5
Por fim, em 100 testes, qual o número médio que vai ter
ms?
Cada teste é um Bernoulli com sucesso “ ”. Então a média é
Cada teste é um Bernoulli com sucesso “
Calcule
Logo, em média:
Logo, em média:
Resposta
-
para , zero caso contrário. -
. -
ms e ms . - Em 100 testes, em média
terão tempo de resposta maior que 3.5 ms.