Um circuito eletrônico responde a um sinal de entrada com um atraso T, modelado como uma variável aleatória uniforme no intervalo [2,5] milissegundos.
  1. Determine a função densidade de probabilidade (f.d.p) de T.
  2. Calcule a probabilidade de que o tempo de resposta seja menor que 4 ms .
  3. Determine o valor esperado e a variância do tempo de resposta.
  4. Se forem realizados 100 testes desse circuito, quantos deles devem, em média, ter um tempo de resposta maior que 3.5 ms ?

Passo 1

Beleza, o exercício tá dizendo que o tempo de resposta de um circuito é uma variável aleatória uniforme no intervalo milissegundos. A matéria aqui é Distribuições Contínuas (especificamente a Uniforme).
O que vamos precisar:
  • Saber como escrever a densidade da Uniforme.
  • Calcular probabilidade via integral da densidade.
  • Usar as fórmulas de valor esperado e variância para Uniforme.
  • Entender que, em 100 testes independentes, o número médio de êxitos é vezes a probabilidade de cada êxito.

Passo 2

Primeiro manda ver na função densidade de probabilidade (f.d.p) de fT(t) = 1b - a, & t in [a,b], 0, & caso contrário .
Para uma Uniforme em fT(t) = 15 - 2 = 13, & 2 <= t <= 5, 0, & fora desse intervalo , a f.d.p é
á
Aqui e , então

Passo 3

Agora calcula a probabilidade de P(T<4) = integral2^4 fT(t),dt = integral2^4 13,dt = 13 times (4 - 2) = 23 .
A probabilidade é a integral da f.d.p de 2 até 4:

Passo 4

Bora achar o valor esperado e a variância.
  • Para Uniforme E[T] = a + b2, Var(T) = (b - a)^212 , E[T] = 2 + 52 = 3.5, Var(T) = (5 - 2)^212 = 912 = 34
Substituindo , :

Passo 5

Por fim, em 100 testes, qual o número médio que vai ter 100 times P(T>3.5) ms?
Cada teste é um Bernoulli com sucesso “ 100 times 0.5 = 50 ”. Então a média é
Calcule
Logo, em média:

Resposta

  1. para , zero caso contrário.
  2. .
  3. ms e ms .
  4. Em 100 testes, em média terão tempo de resposta maior que 3.5 ms.

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