A frequência de um oscilador eletrônico segue uma distribuição normal com média 10 MHz e desvio padrão 0.05 MHz .
Se forem feitas 1000 medições, quantas devem estar entre 9.90 MHz e 10.10 MHz ?

Passo 1

Beleza, vamo lá. O enunciado diz que a frequência de um oscilador é normalmente distribuída com média μ = 10 MHz e desvio padrão σ = 0,05 MHz. A pergunta é: se eu fizer n = 1000 medições, em quantas delas a frequência vai cair entre 9,90 MHz e 10,10 MHz?
Conteúdo: distribuição normal (curva de Gauss), padronização (cálculo de z). Vamos precisar calcular o z para as duas extremidades, achar a probabilidade entre eles e multiplicar por 1000.

Passo 2

Definindo a variável aleatória X = frequência (em MHz). Como X ~ Normal(μ = 10, σ = 0,05), para achar P(9,90 ≤ X ≤ 10,10) a gente vai padronizar X em Z, onde
Z = X - musigma
Isso converte a nossa Normal qualquer em uma Normal padrão (média 0 e desvio 1).

Passo 3

Calcular z para X = 9,90 e X = 10,10:
Para X = 9,90:
z1 = 9,90 - 100,05 = -0,100,05 = -2
Para X = 10,10:
z2 = 10,10 - 100,05 = 0,100,05 = 2

Passo 4

Agora queremos P(−2 ≤ Z ≤ 2). Pela tabela da Normal padrão, a probabilidade de Z estar entre −2 e 2 é cerca de 0,9545 (ou 95,45%). Isso vem do fato de que:
P(Z ≤ 2) ≈ 0,97725, P(Z ≤ -2) ≈ 0,02275,
e subtraindo dá 0,97725 − 0,02275 = 0,9545.

Passo 5

Como fizemos 1000 medições, o número esperado dentro desse intervalo é
1000 times 0,9545 = 954,5

Resposta

Em torno de 955 medições (aproximadamente) vão cair entre 9,90 MHz e 10,10 MHz.

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