1. No circuito da Figura 6, \varepsilon=1,2 \mathrm{kV}, C=6,5 \mu \mathrm{~F}, R_{1}=R_{2}=R_{3}=0,73 \mathrm{M} \Omega. Com completamente descarregado, a chave S é subitamente fechada (\mathrm{t}=0).
a) Determine as correntes através de cada resistor para \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=\infty.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as correntes através de cada resistor nos instantes \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=\infty. As informações fornecidas são:
  • Fem da fonte: \varepsilon=1{,}2\\ \mathrm{kV}.
  • Capacitância: C=6{,}5\\ \mu\mathrm{F}.
  • Resistências: R_{1}=R_{2}=R_{3}=0{,}73\\ \mathrm{M}\Omega.
  • O capacitor está completamente descarregado antes de fechar a chave.
  • No instante \mathrm{t}=0 a chave S é fechada subitamente.
  • Topologia do circuito (retirada da figura): R_{1} está em série com a fonte e a chave; após a chave há um nodo que alimenta dois ramos em paralelo: um ramo com R_{2} até o ponto de referência (terra) e outro ramo com R_{3} em série com o capacitor C até o terra.
As quantidades que vou apresentar no final: as correntes I_1 através de R_1, I_2 através de R_2 e I_3 através de R_3 nos instantes \mathrm{t}=0 e \mathrm{t}=\infty.

Passo 2

Entendimento físico rápido (regras práticas que vamos usar).
  • Em circuitos com capacitor, ao instante imediato após fechar a chave ( \mathrm{t}=0^+) o capacitor, estando inicialmente descarregado, comporta-se como um curto-circuito instantâneo entre seus terminais. Ou seja, para efeitos de correntes instantâneas, o ramo com R_{3} e C é equivalente a apenas R_{3} ligado ao terra (o capacitor curto).
  • No regime estacionário final ( \mathrm{t}\to\infty), o capacitor está completamente carregado e não permite corrente contínua; comporta-se como circuito aberto. Assim, o ramo com R_{3} e C fica aberto e nenhuma corrente passa por R_{3}.
  • Usaremos Lei de Ohm: \displaystyle V=IR, onde V é a diferença de potencial entre os extremos de um resistor, I é a corrente que passa por ele e R é a resistência.
  • Para resistores iguais em paralelo, a resistência equivalente é \displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{R}{n} quando há n ramos iguais; para dois iguais \displaystyle R_{\text{eq}}=\frac{R}{2}.
Agora vamos aplicar essas ideias passo a passo.

Passo 3

Cálculo das correntes em \mathrm{t}=0 (capacitor inicialmente descarregado → curto).
  1. Substituição do ramo R_{3}+C por apenas R_{3} (capacitor curto).
  2. Os resistores R_{2} e R_{3} ficam em paralelo com valores iguais R. A resistência equivalente do paralelo é
R_{\text{par}}=\frac{R_{2}R_{3}}{R_{2}+R_{3}}=\frac{R\cdot R}{R+R}=\frac{R}{2}.
  1. A resistência total vista pela fonte é R_{\text{tot}}=R_{1}+R_{\text{par}}=R+\frac{R}{2}=\frac{3R}{2}.
  2. Substituindo R=0{,}73\\ \mathrm{M}\Omega=0{,}73\times10^{6}\\ \Omega e \varepsilon=1{,}2\\ \mathrm{kV}=1200\\ \mathrm{V}, a corrente que sai da fonte e passa por R_{1} é
I_{1}(0)=\frac{\varepsilon}{R_{\text{tot}}}=\frac{1200}{\tfrac{3R}{2}}=\frac{1200\cdot2}{3R}=\frac{2400}{3R}.
Pode-se simplificar numericamente:
R_{\text{tot}}=\tfrac{3}{2}R=\tfrac{3}{2}\cdot0{,}73\times10^{6}=1{,}095\times10^{6}\\ \Omega,
I_{1}(0)=\frac{1200}{1{,}095\times10^{6}}\approx1{,}0959\times10^{-3}\\ \mathrm{A}=1{,}096\\ \mathrm{mA}.
  1. Tensão no nodo (entre o ponto após R_{1} e o terra) no instante \mathrm{t}=0:
V(0)=\varepsilon\cdot\frac{R_{\text{par}}}{R_{1}+R_{\text{par}}} =\varepsilon\cdot\frac{\tfrac{R}{2}}{\tfrac{3R}{2}}=\varepsilon\cdot\frac{1}{3}= \frac{1200}{3}=400\\ \mathrm{V}.
  1. Corrente por R_{2} (usar Lei de Ohm):
I_{2}(0)=\frac{V(0)}{R_{2}}=\frac{400}{0{,}73\times10^{6}} \approx5{,}4795\times10^{-4}\\ \mathrm{A}=0{,}548\\ \mathrm{mA}.
  1. Corrente por R_{3} no instante \mathrm{t}=0: como R_{3}=R_{2} e o capacitor é curto, o mesmo V(0) aparece em R_{3}, portanto
I_{3}(0)=\frac{V(0)}{R_{3}}=I_{2}(0)\approx0{,}548\\ \mathrm{mA}.
Verificação: I_{1}(0) é a soma das correntes dos ramos do nodo, I_{1}(0)\approx I_{2}(0)+I_{3}(0) (1{,}096 mA ≈ 0{,}548 + 0{,}548 mA), consistente.

Passo 4

Cálculo das correntes em \mathrm{t}=\infty (regime estacionário; capacitor carregado → circuito aberto no ramo do capacitor).
  1. No regime final o capacitor impede corrente contínua através do seu ramo, logo o ramo com R_{3} e C é aberto e não conduz: I_{3}(\infty)=0.
  2. O único caminho para a corrente da fonte é através de R_{1} em série com R_{2}. Assim a resistência total é
R_{\text{tot}}(\infty)=R_{1}+R_{2}=R+R=2R.
  1. Numericamente,
2R=2\cdot0{,}73\times10^{6}=1{,}46\times10^{6}\\ \Omega,
I_{1}(\infty)=\frac{\varepsilon}{2R}=\frac{1200}{1{,}46\times10^{6}}\approx8{,}21918\times10^{-4}\\ \mathrm{A}=0{,}822\\ \mathrm{mA}.
  1. Tensão no nodo final:
V(\infty)=\varepsilon\cdot\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}=\varepsilon\cdot\frac{R}{2R}=\frac{\varepsilon}{2}=\frac{1200}{2}=600\\ \mathrm{V}.
  1. Corrente por R_{2} no final:
I_{2}(\infty)=\frac{V(\infty)}{R_{2}}=\frac{600}{0{,}73\times10^{6}}\approx8{,}21918\times10^{-4}\\ \mathrm{A}=0{,}822\\ \mathrm{mA}.
  1. Como já dito, I_{3}(\infty)=0 porque o capacitor em estado carregado impede corrente contínua.

Passo 5

Resumo e interpretação rápida (para guardar na prova):
  • No instante inicial o capacitor curto faz o ramo direito conduzir; as correntes por R_{2} e R_{3} são iguais (resistores iguais) e cada uma recebe metade da corrente que sai de R_{1}.
  • No regime final a corrente pelo ramo com R_{3} é nula porque o capacitor se tornou um circuito aberto; toda a corrente passa por R_{2}.

Resposta

I_{1}(0)=1{,}096\\ \mathrm{mA},\quad I_{2}(0)=0{,}548\\ \mathrm{mA},\quad I_{3}(0)=0{,}548\\ \mathrm{mA}.
I_{1}(\infty)=0{,}822\\ \mathrm{mA},\quad I_{2}(\infty)=0{,}822\\ \mathrm{mA},\quad I_{3}(\infty)=0.

Exercícios relacionados