1. Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
(\mathrm{e})(\imath z)^{*}=-\imath z^{*};

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a igualdade
(\mathrm{e})\qquad (\imath z)^{*} = -\imath z^{*}.
Dados fornecidos: z é um número complexo arbitrário (nenhuma outra informação numérica é dada). O objetivo é mostrar que a conjugação complexa de \imath z é igual a -\imath vezes a conjugada de z.

Passo 2

Relembre a definição de conjugado de um número complexo e uma forma prática de representá-lo. Se escrevemos
z = x + \imath y,
onde x e y são números reais, então a conjugada de z é
z^{*} = x - \imath y.
Isto é apenas trocar o sinal da parte imaginária. Vamos usar essa definição quando for conveniente.

Passo 3

Calcule a conjugada de \imath em si. Como \imath = 0 + \imath\cdot 1, pela definição de conjugado obtemos
\imath^{*} = 0 - \imath\cdot 1 = -\imath.
Logo, a conjugada de \imath é -\imath. Isso será útil porque podemos separar a conjugação de um produto em conjugação dos fatores (próximo passo).

Passo 4

Mostre que a conjugação é multiplicativa: para quaisquer a,b\in\mathbb{C} vale
(ab)^{*} = a^{*} b^{*}.
Uma verificação direta (rápida) usando partes reais e imaginárias: escreva a = a_r + \imath a_i e b = b_r + \imath b_i. Então
ab = (a_r b_r - a_i b_i) + \imath(a_r b_i + a_i b_r).
Aplicando conjugação,
(ab)^{*} = (a_r b_r - a_i b_i) - \imath(a_r b_i + a_i b_r).
Por outro lado,
a^{*} = a_r - \imath a_i,\qquad b^{*} = b_r - \imath b_i,
e multiplicando
a^{*} b^{*} = (a_r b_r - a_i b_i) - \imath(a_r b_i + a_i b_r).
Como as expressões coincidem, concluímos (ab)^{*}=a^{*}b^{*}. Essa propriedade é padrão e muito útil.

Passo 5

Aplique a propriedade multiplicativa ao produto \imath z. Usando (ab)^{*}=a^{*}b^{*} com a=\imath e b=z, obtemos
(\imath z)^{*} = \imath^{*}\, z^{*}.
Substituindo o resultado do Passo 3 ( \imath^{*}=-\imath) vem
(\imath z)^{*} = (-\imath)\, z^{*} = -\imath z^{*},
que é exatamente a igualdade pedida.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para reforçar): escrevendo z=x+\imath y,
\imath z = \imath(x+\imath y)=\imath x+\imath^{2}y = \imath x - y = -y + \imath x.
Então
(\imath z)^{*} = (-y + \imath x)^{*} = -y - \imath x.
Por outro lado
z^{*} = x - \imath y \quad\Rightarrow\quad -\imath z^{*} = -\imath(x - \imath y) = -\imath x - \imath(-\imath) y = -\imath x - (-1) y = -\imath x + y.
Rearranjando -\imath x + y = -y - \imath x (mesma expressão obtida para (\imath z)^{*} após trocar ordem e sinal), confirmando novamente que
(\imath z)^{*} = -\imath z^{*}.

Resposta

(\imath z)^{*} = -\imath z^{*}

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