- Demonstre as seguintes igualdades envolvendo números complexos:
;
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a igualdade
Dados fornecidos:
é um número complexo arbitrário (nenhuma outra informação numérica é dada). O objetivo é mostrar que a conjugação complexa de
é igual a
vezes a conjugada de
.
Passo 2
Relembre a definição de conjugado de um número complexo e uma forma prática de representá-lo. Se escrevemos
onde
e
são números reais, então a conjugada de
é
Isto é apenas trocar o sinal da parte imaginária. Vamos usar essa definição quando for conveniente.
Passo 3
Calcule a conjugada de
em si. Como
, pela definição de conjugado obtemos
Logo, a conjugada de
é
. Isso será útil porque podemos separar a conjugação de um produto em conjugação dos fatores (próximo passo).
Passo 4
Mostre que a conjugação é multiplicativa: para quaisquer
vale
Uma verificação direta (rápida) usando partes reais e imaginárias: escreva
e
. Então
Aplicando conjugação,
Por outro lado,
e multiplicando
Como as expressões coincidem, concluímos
. Essa propriedade é padrão e muito útil.
Passo 5
Aplique a propriedade multiplicativa ao produto
. Usando
com
e
, obtemos
Substituindo o resultado do Passo 3 (
) vem
que é exatamente a igualdade pedida.
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para reforçar): escrevendo
,
Então
Por outro lado
Rearranjando
(mesma expressão obtida para
após trocar ordem e sinal), confirmando novamente que