Um circuito está formado por um resistor de 60 \Omega, um indutor de 10 H e um capacitor de 0.02 F , conectados em série. Administra-se uma voltagem de entrada de E(t)=50 \sin (2 t) \mathrm{V}, onde t está medido em segundos. Calcule a carga e a corrente no circuito em função de t, considerando que o interruptor se ativa em t=0, e que a carga inicial é zero.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série RLC com R=60\\ \Omega, L=10\\ \mathrm{H}, C=0,02\\ \mathrm{F} alimentado por
E(t)=50\sin(2t)\\ \mathrm{V},
com chave fechando em t=0 e carga inicial nula. Precisamos achar a carga q(t) e a corrente i(t)=\frac{dq}{dt}. Vamos modelar o circuito por uma equação diferencial, resolver a parte homogênea e particular, e impor as condições iniciais.

Passo 2

Pela Lei de Kirchhoff de tensão temos
L\,\frac{d^2q}{dt^2}+R\,\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=E(t).
Substituindo os valores e dividindo por 10:
10\,q''+60\,q'+50\,q=50\sin(2t) \quad\Longrightarrow\quad q''+6\,q'+5\,q=5\sin(2t).

Passo 3

A equação homogênea é
q''+6q'+5q=0,
cuja característica r^2+6r+5=0 tem raízes r=-1 e r=-5. Logo
q_h(t)=A\,e^{-t}+B\,e^{-5t}.

Passo 4

Para a solução particular usamos q_p=K\sin(2t)+M\cos(2t). Calculando q_p' e q_p'' e substituindo em q''+6q'+5q=5\sin(2t) dá o sistema
\begin{cases} K-12M=5,\\\\ 12K+M=0, \end{cases}
cuja solução é
K=\frac{1}{29},\quad M=-\frac{12}{29}.
Portanto
q_p(t)=\frac{1}{29}\sin(2t)-\frac{12}{29}\cos(2t).

Passo 5

A solução geral é
q(t)=A\,e^{-t}+B\,e^{-5t}+\frac{1}{29}\sin(2t)-\frac{12}{29}\cos(2t).
A corrente é
i(t)=q'(t)=-A\,e^{-t}-5B\,e^{-5t}+\frac{2}{29}\cos(2t)+\frac{24}{29}\sin(2t).
Impondo q(0)=0\) e \(i(0)=0\) obtemos \[\begin{cases} A+B-\tfrac{12}{29}=0,\\\\ -A-5B+\tfrac{2}{29}=0, \end{cases}
cujas soluções são A=\tfrac12\] e \(B=-\tfrac{5}{58}.

Resposta

q(t)=\frac12\,e^{-t}-\frac{5}{58}\,e^{-5t}+\frac{1}{29}\sin(2t)-\frac{12}{29}\cos(2t),
i(t)=-\frac12\,e^{-t}+\frac{25}{58}\,e^{-5t}+\frac{2}{29}\cos(2t)+\frac{24}{29}\sin(2t).

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