Se P é uma probabilidade sobre um espaço amostral e A e B são eventos quaisquer, mostre os fatos abaixo a partir dos Axiomas de Kolmogorov. Interpreteos e note que a demonstração seria muito simples no caso da definição clássica de probabilidades.
a) P\left(B \cap A^{c}\right)=P(B)-P(A \cap B).
b) P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B).
c) Se A \subset B então P(A) \leq P(B).

Passo 1

Temos uma medida de probabilidade P sobre um espaço amostral \Omega e dois eventos A e B. Vamos usar os axiomas de Kolmogorov:
  1. Não-negatividade: para todo evento E, \,P(E)\ge0.
  2. Normalização: P(\Omega)=1.
  3. Aditividade finita: se E e F são disjuntos, então
P(E\cup F)=P(E)+P(F).
Com isso, provamos cada fórmula e em seguida damos uma breve interpretação.

Passo 2

Prova de (a) P\bigl(B\cap A^{c}\bigr)=P(B)-P(A\cap B).
Observe que
B = \bigl(B\cap A\bigr)\;\cup\;\bigl(B\cap A^{c}\bigr)
e \,(B\cap A) e \,(B\cap A^{c}) são disjuntos por construção.
Pela aditividade finita,
P(B)=P\bigl(B\cap A\bigr)+P\bigl(B\cap A^{c}\bigr).
Rearranjando,
P\bigl(B\cap A^{c}\bigr) = P(B)-P\bigl(A\cap B\bigr).
Interpretação: a probabilidade de ocorrer B sem A é a parte de P(B) que sobra ao remover a interseção A\cap B.

Passo 3

Prova de (b) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).
Reescreva
A\cup B = A \;\cup\;\bigl(B\cap A^{c}\bigr),
onde A e B\cap A^{c} são disjuntos. Logo
P(A\cup B) = P(A)+P\bigl(B\cap A^{c}\bigr).
Usando o resultado de (a),
P\bigl(B\cap A^{c}\bigr)=P(B)-P\bigl(A\cap B\bigr),
obtemos
P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P\bigl(A\cap B\bigr).
Interpretação: essa é a fórmula de inclusão-exclusão, que corrige a soma simples de P(A) e P(B) ao subtrair a parte contada duas vezes, P(A\cap B).

Passo 4

Prova de (c) Se A \subset B então P(A)\le P(B).
Quando A\subset B, podemos escrever
B = A \;\cup\; \bigl(B\cap A^{c}\bigr),
com A e B\cap A^{c} disjuntos. Pela aditividade,
P(B)=P(A)+P\bigl(B\cap A^{c}\bigr).
Pela não-negatividade, P(B\cap A^{c})\ge0, daí
P(B)\ge P(A).
Interpretação: se todo resultado de A também está em B, então a chance de A não pode exceder a de B.

Resposta

a) P\bigl(B\cap A^{c}\bigr)=P(B)-P\bigl(A\cap B\bigr).
b) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P\bigl(A\cap B\bigr).
c) Se A\subset B então P(A)\le P(B).

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