Se
é uma probabilidade sobre um espaço amostral e
e
são eventos quaisquer, mostre os fatos abaixo a partir dos Axiomas de Kolmogorov. Interpreteos e note que a demonstração seria muito simples no caso da definição clássica de probabilidades.
a)
.
b)
.
c) Se
então
.
a)
b)
c) Se
Passo 1
Temos uma medida de probabilidade
sobre um espaço amostral
e dois eventos
e
. Vamos usar os axiomas de Kolmogorov:
- Não-negatividade: para todo evento
, . - Normalização:
. - Aditividade finita: se
e são disjuntos, então
Com isso, provamos cada fórmula e em seguida damos uma breve interpretação.
Passo 2
Prova de (a)
.
Observe que
Observe que
e
e
são disjuntos por construção.
Pela aditividade finita,
Pela aditividade finita,
Rearranjando,
Interpretação: a probabilidade de ocorrer
sem
é a parte de
que sobra ao remover a interseção
.
Passo 3
Prova de (b)
.
Reescreva
Reescreva
onde
e
são disjuntos. Logo
Usando o resultado de (a),
obtemos
Interpretação: essa é a fórmula de inclusão-exclusão, que corrige a soma simples de
e
ao subtrair a parte contada duas vezes,
.
Passo 4
Prova de (c) Se
então
.
Quando , podemos escrever
Quando
com
e
disjuntos. Pela aditividade,
Pela não-negatividade,
, daí
Interpretação: se todo resultado de
também está em
, então a chance de
não pode exceder a de
.
Resposta
a)
.
b) .
c) Se então
.
b)
c) Se