Determine o fator de potência de um circuito R C em série.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o fator de potência de um circuito R C em série.
Informações dadas (implícitas no enunciado) e pressupostos que vou usar:
  • Há um resistor R e um capacitor C ligados em série a uma fonte senoidal em regime permanente com pulsação \omega (ou frequência f).
  • Não foram dados valores numéricos; portanto vou derivar a expressão do fator de potência em termos de R, C e \omega.
  • Pressupõe-se análise fasorial/complexa (padrão para circuitos AC em regime senoidal).

Passo 2

O que é fator de potência e como ele se relaciona com o ângulo de fase:
  • O fator de potência (PF) é o cosseno do ângulo de fase entre a tensão aplicada e a corrente do circuito. Denotando esse ângulo por \varphi, tem-se
\text{PF}=\cos\varphi.
  • Em um circuito série a corrente é a mesma em todos os elementos, e o ângulo \varphi é o argumento (fase) da impedância total Z do circuito. Então precisamos achar a impedância Z do conjunto série R e C e seu ângulo.

Passo 3

Impedância do circuito série R e C:
  • A impedância do resistor é \;Z_R=R\; (real).
  • A impedância do capacitor é \;Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-j\displaystyle\frac{1}{\omega C}\; (parte imaginária negativa).
  • A impedância total em série é soma:
Z=Z_R+Z_C=R - j\frac{1}{\omega C}.
Aqui a parte real é R e a parte imaginária é X = -\dfrac{1}{\omega C}.

Passo 4

Módulo e ângulo da impedância:
  • O módulo de Z é dado por
|Z|=\sqrt{R^{2}+\left(\frac{1}{\omega C}\right)^{2}}.
Explicando: isso vem da fórmula do módulo de um número complexo a+jb, que é \sqrt{a^{2}+b^{2}}. Aqui a=R e b=-\dfrac{1}{\omega C}, mas o quadrado elimina o sinal.
  • O ângulo de fase \varphi (argumento de Z) é
\varphi=\arg(Z)=\arctan\!\left(\frac{\Im\{Z\}}{\Re\{Z\}}\right)=\arctan\!\left(\frac{-\dfrac{1}{\omega C}}{R}\right)=-\arctan\!\left(\frac{1}{\omega C R}\right).
Observação física: para circuito com capacitor a corrente adianta a tensão, então \varphi é negativo (ângulo de tensão em relação à corrente), mas o fator de potência usa \cos\varphi, que é simétrico em relação ao sinal de \varphi.

Passo 5

Expressão final do fator de potência:
  • Usando \text{PF}=\cos\varphi e a relação entre \cos e o triângulo formado por R (adjacente) e |X_C|=\dfrac{1}{\omega C} (oposto), obtém-se diretamente
\text{PF}=\cos\varphi=\frac{R}{|Z|}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}}.
  • Alternativamente, se for conveniente usar a reatância capacitiva \;X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}\; (módulo, positivo), pode-se escrever
\text{PF}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}}.
  • Propriedades rápidas e interpretação: 0\le \text{PF}\le 1. Para circuito puramente resistivo ( X_C=0) tem \text{PF}=1. Para grande reatância capacitiva ( X_C\gg R) o fator de potência fica próximo de zero (muito reativo). Como o circuito é capacitivo, a corrente antecipa a tensão (fator de potência “leading”).

Passo 6

Exemplo numérico rápido para fixar (sem necessidade de calculadora complexa):
  • Suponha R=3\\ \Omega e que, na frequência considerada, a reatância capacitiva tenha módulo X_{C}=4\\ \Omega. Então
\text{PF}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}}=\frac{3}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}}=\frac{3}{5}=0{,}6.
  • Isso ilustra o método prático: se conseguir calcular ou estimar X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}, basta aplicar a fórmula acima.

Resposta

\text{PF}=\cos\varphi=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+\left(\dfrac{1}{\omega C}\right)^{2}}}=\frac{R}{\sqrt{R^{2}+X_{C}^{2}}}\,,
onde \;X_{C}=\dfrac{1}{\omega C}.

Exercícios relacionados