Em um circuito
oscilante,
e
. Para
, a carga no capacitor é nula e a corrente vale
. (a) Qual a carga máxima que surge no capacitor? (b) Em termos do período
das oscilações,
Passo 1
O enunciado dá um circuito oscilante com indutância e capacitância e as condições iniciais no instante
. Perguntas a responder:
- (a) Qual a carga máxima que surge no capacitor?
- (b) Em que instante, expresso em termos do período
das oscilações, essa carga máxima ocorre?
Dados fornecidos:
Observação: eu não sei nada além disso e a questão está corretamente formulada; vou usar essas informações para calcular a carga máxima e o instante em função de
.
Passo 2
Ideia física / método direto (energia): num circuito
sem resistência a energia oscila entre indutor e capacitor. No instante inicial toda a energia está no indutor (energia magnética) e mais tarde, no ponto de máxima carga, toda essa energia estará no capacitor (energia elétrica). Escrevendo as energias:
energia no indutor:
energia no capacitor (quando a carga é máxima
):
Como não há perdas,
. Igualando:
Explicação das variáveis:
-
é a indutância em henry; -
é a corrente inicial em ampère; -
é a capacitância em farad; -
é a carga máxima em coulomb.
Simplificando a igualdade (os fatores
cancelam) obtém-se uma expressão para
:
Essa fórmula é muito útil e fácil de aplicar: a máxima carga é a corrente inicial multiplicada pela raiz de
.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os valores numéricos dados. Primeiro calculamos
:
Agora a raiz:
(Isto porque
e
; o produto dá cerca de
.)
Agora
:
Convertendo para microcoulombs:
Passo 4
Verificação alternativa (modo harmônico): a solução para a carga num circuito ideal
é harmônica:
onde
é a frequência angular dada por
As condições iniciais
e
implicam
e
logo
o que coincide com o resultado do passo anterior. Bom sinal de consistência.
Passo 5
Agora a parte (b): quando, em termos do período
, essa carga máxima ocorre? Definimos o período
Como vimos, com as condições escolhidas
. A função
atinge seu primeiro máximo quando
. Assim o primeiro instante
tal que
é máximo satisfaz
Escrevendo em função de
:
Portanto o primeiro máximo de carga ocorre no instante
. (Os máximos seguintes ocorrem em
para inteiros
.)