Em um circuito L C oscilante, L=3 m H e C=2,7 \mu F. Para t=0, a carga no capacitor é nula e a corrente vale 2 A. (a) Qual a carga máxima que surge no capacitor? (b) Em termos do período T das oscilações,

Passo 1

O enunciado dá um circuito oscilante com indutância e capacitância e as condições iniciais no instante t=0. Perguntas a responder:
  • (a) Qual a carga máxima que surge no capacitor?
  • (b) Em que instante, expresso em termos do período T das oscilações, essa carga máxima ocorre?
Dados fornecidos:
L=3\,\mathrm{mH}=3\times10^{-3}\,\mathrm{H}
C=2{,}7\,\mu\mathrm{F}=2{,}7\times10^{-6}\,\mathrm{F}
q(0)=0
i(0)=2\,\mathrm{A}
Observação: eu não sei nada além disso e a questão está corretamente formulada; vou usar essas informações para calcular a carga máxima e o instante em função de T.

Passo 2

Ideia física / método direto (energia): num circuito LC sem resistência a energia oscila entre indutor e capacitor. No instante inicial toda a energia está no indutor (energia magnética) e mais tarde, no ponto de máxima carga, toda essa energia estará no capacitor (energia elétrica). Escrevendo as energias:
energia no indutor: E_L=\tfrac{1}{2}L\,I^2
energia no capacitor (quando a carga é máxima Q_{\max}): E_C=\tfrac{Q_{\max}^2}{2C}
Como não há perdas, E_L=E_C. Igualando:
\tfrac{1}{2}L\,I(0)^2=\tfrac{Q_{\max}^2}{2C}
Explicação das variáveis:
  • L é a indutância em henry;
  • I(0) é a corrente inicial em ampère;
  • C é a capacitância em farad;
  • Q_{\max} é a carga máxima em coulomb.
Simplificando a igualdade (os fatores 1/2 cancelam) obtém-se uma expressão para Q_{\max}:
Q_{\max}=I(0)\sqrt{L\,C}
Essa fórmula é muito útil e fácil de aplicar: a máxima carga é a corrente inicial multiplicada pela raiz de LC.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os valores numéricos dados. Primeiro calculamos L\cdot C:
L\cdot C = 3\times10^{-3}\cdot 2{,}7\times10^{-6}=8{,}1\times10^{-9}
Agora a raiz:
\sqrt{L\,C}=\sqrt{8{,}1\times10^{-9}}=9{,}0\times10^{-5}
(Isto porque \sqrt{8{,}1}=2{,}846\ldots e \sqrt{10^{-9}}=10^{-4{,}5}=3{,}1623\times10^{-5}; o produto dá cerca de 9{,}0\times10^{-5}.)
Agora Q_{\max}:
Q_{\max}=I(0)\sqrt{L\,C}=2\cdot 9{,}0\times10^{-5}=1{,}8\times10^{-4}\,\mathrm{C}
Convertendo para microcoulombs:
1{,}8\times10^{-4}\,\mathrm{C}=180\,\mu\mathrm{C}.

Passo 4

Verificação alternativa (modo harmônico): a solução para a carga num circuito ideal LC é harmônica:
q(t)=Q_{\max}\sin(\omega t+\varphi),
onde \omega é a frequência angular dada por
\omega=\frac{1}{\sqrt{L\,C}}.
As condições iniciais q(0)=0 e i(0)=\dot q(0)=2\,\mathrm{A} implicam \varphi=0 e
i(0)=\dot q(0)=\omega Q_{\max}=2,
logo
Q_{\max}=\frac{2}{\omega}=2\sqrt{L\,C},
o que coincide com o resultado do passo anterior. Bom sinal de consistência.

Passo 5

Agora a parte (b): quando, em termos do período T, essa carga máxima ocorre? Definimos o período
T=\frac{2\pi}{\omega}.
Como vimos, com as condições escolhidas q(t)=Q_{\max}\sin(\omega t). A função \sin(\theta) atinge seu primeiro máximo quando \theta=\tfrac{\pi}{2}. Assim o primeiro instante t_{\max} tal que q(t) é máximo satisfaz
\omega t_{\max}=\frac{\pi}{2}\quad\Rightarrow\quad t_{\max}=\frac{\pi}{2\omega}.
Escrevendo em função de T:
t_{\max}=\frac{\pi}{2\omega}=\frac{1}{4}\cdot\frac{2\pi}{\omega}=\frac{T}{4}.
Portanto o primeiro máximo de carga ocorre no instante t=\dfrac{T}{4}. (Os máximos seguintes ocorrem em t=(2n+1)\dfrac{T}{4} para inteiros n\ge0.)

Resposta

Q_{\max}=1{,}8\times10^{-4}\,\mathrm{C}=180\,\mu\mathrm{C}
t_{\max}=\dfrac{T}{4}

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