Resolva a EDO de segunda ordem do circuito LRC:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem inhomogênea
e pede que a resolvamos (ou seja, encontrar
para tempo
genérico), supondo que
,
,
e a entrada
são dados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Pergunta do problema:
- Determinar a solução geral
da equação diferencial para tempo , expressando a solução homogênea (dependente das condições iniciais) e uma solução particular para o forçamento .
Observação: aqui não foram fornecidas condições iniciais específicas (por exemplo
e
), então vamos dar a solução geral com constantes que serão ajustadas pelas condições iniciais quando elas existirem.
Passo 2
Primeiro passo técnico: normalizar a equação dividindo por
para colocá-la na forma padrão. Dividindo toda a equação por
obtemos
Agora introduzimos (por clareza e para usar notação comum):
Com isso a equação fica
Explicação rápida do que representam essas quantidades:
-
tem dimensão de rad/s e é a frequência natural do circuito LC (quando ). -
mede a taxa de amortecimento (quanto maior , maior o amortecimento).
A forma padrão facilita analisar a solução homogênea e o comportamento do sistema.
Passo 3
Calcular a solução homogênea associada (ou seja, para o caso
). A equação homogênea é
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo, obtemos a equação característica
As raízes são
Dependendo do discriminante
aparecem três casos (vou tratar cada um e dar a forma explícita da solução homogênea):
Passo 4
Caso 1 — subamortecido (underdamped):
.
Defina . As raízes são complexas
e a solução homogênea geral é
Defina
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como encontrar e
a partir de
e
: avaliando em
,
Como encontrar
Logo
Expliquei isso porque, na prova, normalmente te dão
e
e você tem que achar
e
com esse pequeno sistema linear.
Passo 5
Caso 2 — criticamente amortecido (critically damped):
.
A equação característica tem raiz dupla . A solução homogênea é
A equação característica tem raiz dupla
com
e
determinados por condições iniciais. Para obter
e
use
e
.
Passo 6
Caso 3 — sobreamortecido (overdamped):
.
Defina . As duas raízes reais são
Defina
e a solução homogênea é
com
ajustadas pelas condições iniciais (resolver o sistema linear formado por
e
).
Resumo: já temos a parte homogênea
em todas as situações — isso normalmente dá a “resposta transitória” do circuito.
Passo 7
Agora precisamos de uma solução particular
para a equação inhomogênea. Em geral, para uma equação linear com coeficientes constantes e entrada arbitrária
, a solução geral é
e uma forma muito prática e elegante para
é escrever a resposta através da convolução com a resposta ao impulso (função de Green) do sistema linear invariante no tempo (LTI).
Tomando transformada de Laplace com condições iniciais nulas (ou usando teoria de sistemas), obtemos a função de transferência
A resposta ao impulso
é a transformada inversa de
(com
para
). Para condições iniciais quaisquer, a solução particular (com condições iniciais consideradas separadamente via
) pode ser escrita como
Esta fórmula é essencial na prova: ela diz que a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso do sistema.
Passo 8
Vamos escrever explicitamente
nos três casos (inversão direta de
) — isso dá receitas prontas para calcular a convolução na hora da prova.
- Se
(subamortecido), com ,
Motivo:
, daí multiplica-se por
.
- Se
(criticamente amortecido),
- Se
(sobreamortecido), com e ,
Observação: aqui
, daí o fator de normalização.
Passo 9
Modo prático — resumindo como você resolve uma questão tipo-prova passo a passo:
- Normaliza a EDO dividindo por
e calcule e . - Resolve a homogênea: dependendo de
vs usa uma das formas de do Passo 4–6. Ajusta constantes com e . - Para a particular, se
for uma forma comum (constante, exponencial, senoidal, polinomial vezes exponencial) pode usar coeficientes não determinados ou método dos fasores; se for geral use a convolução com :
- A solução completa é
.
Exemplo rápido (caso comum): se
constante, então o regime permanente satisfaz
, e a solução completa tende a
quando
; a resposta completa é obtida somando a resposta transitória
que decai exponencialmente ao longo do tempo.