Resolva a EDO de segunda ordem do circuito LRC:

L C \frac{d^{2} v}{d t^{2}}+R C \frac{d v(t)}{d(t)}+v=V(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem inhomogênea
L C \frac{d^{2} v}{d t^{2}}+R C \frac{d v(t)}{d t}+v(t)=V(t)
e pede que a resolvamos (ou seja, encontrar v(t) para tempo t genérico), supondo que L, R, C e a entrada V(t) são dados.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Dado: }L>0,\;R\ge 0,\;C>0,\;V(t)\\ \text{função conhecida (fornecida)}.çã
Pergunta do problema:
  • Determinar a solução geral v(t) da equação diferencial para tempo t, expressando a solução homogênea (dependente das condições iniciais) e uma solução particular para o forçamento V(t).
Observação: aqui não foram fornecidas condições iniciais específicas (por exemplo \,v(0) e \,v'(0)), então vamos dar a solução geral com constantes que serão ajustadas pelas condições iniciais quando elas existirem.

Passo 2

Primeiro passo técnico: normalizar a equação dividindo por L C para colocá-la na forma padrão. Dividindo toda a equação por L C obtemos
\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+\frac{R}{L}\frac{dv}{dt}+\frac{1}{LC}v(t)=\frac{V(t)}{LC}.
Agora introduzimos (por clareza e para usar notação comum):
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}\quad\text{(frequência natural)},ê
\alpha=\frac{R}{2L}\quad\text{(coeficiente de amortecimento)}.
Com isso a equação fica
\frac{d^{2}v}{dt^{2}}+2\alpha\frac{dv}{dt}+\omega_{0}^{2}v(t)=\frac{V(t)}{LC}.
Explicação rápida do que representam essas quantidades:
  • \omega_{0} tem dimensão de rad/s e é a frequência natural do circuito LC (quando R=0).
  • \alpha mede a taxa de amortecimento (quanto maior R, maior o amortecimento).
A forma padrão facilita analisar a solução homogênea e o comportamento do sistema.

Passo 3

Calcular a solução homogênea associada (ou seja, para o caso V(t)\equiv 0). A equação homogênea é
\frac{d^{2}v_h}{dt^{2}}+2\alpha\frac{dv_h}{dt}+\omega_{0}^{2}v_h(t)=0.
Procuramos soluções do tipo v_h(t)=e^{r t}. Substituindo, obtemos a equação característica
r^{2}+2\alpha r+\omega_{0}^{2}=0.
As raízes são
r = -\alpha \pm \sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}.
Dependendo do discriminante \alpha^{2}-\omega_{0}^{2} aparecem três casos (vou tratar cada um e dar a forma explícita da solução homogênea):

Passo 4

Caso 1 — subamortecido (underdamped): \alpha<\omega_{0}.
Defina \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}}>0. As raízes são complexas r=-\alpha\pm i\omega_{d} e a solução homogênea geral é
v_{h}(t)=e^{-\alpha t}\big(A\cos(\omega_{d}t)+B\sin(\omega_{d}t)\big),
onde A e B são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Como encontrar A e B a partir de v(0) e v'(0): avaliando em t=0,
v_{h}(0)=A,\qquad v'_{h}(0)=-\alpha A + \omega_{d} B.
Logo
A=v(0),\qquad B=\frac{v'(0)+\alpha v(0)}{\omega_{d}}.
Expliquei isso porque, na prova, normalmente te dão v(0) e v'(0) e você tem que achar A e B com esse pequeno sistema linear.

Passo 5

Caso 2 — criticamente amortecido (critically damped): \alpha=\omega_{0}.
A equação característica tem raiz dupla r=-\alpha. A solução homogênea é
v_{h}(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t},
com A e B determinados por condições iniciais. Para obter A e B use v_h(0)=A e v_h'(0)= -\alpha A + B.

Passo 6

Caso 3 — sobreamortecido (overdamped): \alpha>\omega_{0}.
Defina \gamma=\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}>0. As duas raízes reais são
r_{1}=-\alpha+\gamma,\qquad r_{2}=-\alpha-\gamma,
e a solução homogênea é
v_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},
com C_{1},C_{2} ajustadas pelas condições iniciais (resolver o sistema linear formado por v_h(0) e v_h'(0)).
Resumo: já temos a parte homogênea v_h(t) em todas as situações — isso normalmente dá a “resposta transitória” do circuito.

Passo 7

Agora precisamos de uma solução particular v_{p}(t) para a equação inhomogênea. Em geral, para uma equação linear com coeficientes constantes e entrada arbitrária V(t), a solução geral é
v(t)=v_{h}(t)+v_{p}(t),
e uma forma muito prática e elegante para v_{p} é escrever a resposta através da convolução com a resposta ao impulso (função de Green) do sistema linear invariante no tempo (LTI).
Tomando transformada de Laplace com condições iniciais nulas (ou usando teoria de sistemas), obtemos a função de transferência
H(s)=\frac{V_{\text{out}}(s)}{V_{\text{in}}(s)}=\frac{1/(LC)}{s^{2}+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}}=\frac{\omega_{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega_{0}^{2}}.
A resposta ao impulso h(t) é a transformada inversa de H(s) (com h(t)=0 para t<0). Para condições iniciais quaisquer, a solução particular (com condições iniciais consideradas separadamente via v_h) pode ser escrita como
v_{p}(t)=\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,V(\tau)\,d\tau.
Esta fórmula é essencial na prova: ela diz que a saída é a convolução da entrada com a resposta ao impulso do sistema.

Passo 8

Vamos escrever explicitamente h(t) nos três casos (inversão direta de H(s)) — isso dá receitas prontas para calcular a convolução na hora da prova.
  • Se \alpha<\omega_{0} (subamortecido), com \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}},
H(s)=\frac{\omega_{0}^{2}}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}}\quad\Rightarrow\quad h(t)=\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{d}}\,e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t)\quad (t\ge 0).
Motivo: \mathcal{L}\{e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t)\}=\dfrac{\omega_{d}}{(s+\alpha)^{2}+\omega_{d}^{2}}, daí multiplica-se por \omega_{0}^{2}/\omega_{d}.
  • Se \alpha=\omega_{0} (criticamente amortecido),
H(s)=\frac{\omega_{0}^{2}}{(s+\omega_{0})^{2}}\quad\Rightarrow\quad h(t)=\omega_{0}^{2}\,t\,e^{-\omega_{0} t}\quad (t\ge 0).
  • Se \alpha>\omega_{0} (sobreamortecido), com \gamma=\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}} e r_{1,2}=-\alpha\pm\gamma,
H(s)=\frac{\omega_{0}^{2}}{(s-r_{1})(s-r_{2})} \quad\Rightarrow\quad h(t)=\frac{\omega_{0}^{2}}{2\gamma}\big(e^{r_{1}t}-e^{r_{2}t}\big)\quad (t\ge 0).
Observação: aqui r_{1}-r_{2}=2\gamma, daí o fator de normalização.

Passo 9

Modo prático — resumindo como você resolve uma questão tipo-prova passo a passo:
  1. Normaliza a EDO dividindo por LC e calcule \alpha e \omega_{0}.
  2. Resolve a homogênea: dependendo de \alpha vs \omega_{0} usa uma das formas de v_h(t) do Passo 4–6. Ajusta constantes com v(0) e v'(0).
  3. Para a particular, se V(t) for uma forma comum (constante, exponencial, senoidal, polinomial vezes exponencial) pode usar coeficientes não determinados ou método dos fasores; se V(t) for geral use a convolução com h(t):
v_{p}(t)=\int_{0}^{t}h(t-\tau)V(\tau)\,d\tau.
  1. A solução completa é v(t)=v_h(t)+v_p(t).
Exemplo rápido (caso comum): se V(t)=V_{0} constante, então o regime permanente satisfaz v_{\infty}=V_{0}, e a solução completa tende a V_{0} quando t\to\infty; a resposta completa é obtida somando a resposta transitória v_h(t) que decai exponencialmente ao longo do tempo.

Resposta

\text{Solução geral: }v(t)=v_{h}(t)+v_{p}(t),çã
\text{com }v_{p}(t)=\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,V(\tau)\,d\tau\text{ e }h(t)=\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{\omega_{0}^{2}}{s^{2}+2\alpha s+\omega_{0}^{2}}\right\},
\text{onde }\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}},\\ \alpha=\frac{R}{2L}.
\text{Se }\alpha<\omega_{0}:\quad v_{h}(t)=e^{-\alpha t}\big(A\cos\omega_{d}t+B\sin\omega_{d}t\big),\quad \omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\alpha^{2}},
\text{com }A=v(0),\\ B=\frac{v'(0)+\alpha v(0)}{\omega_{d}},\quad h(t)=\frac{\omega_{0}^{2}}{\omega_{d}}e^{-\alpha t}\sin(\omega_{d}t).
\text{Se }\alpha=\omega_{0}:\quad v_{h}(t)=(A+Bt)e^{-\alpha t},\quad h(t)=\omega_{0}^{2}t e^{-\omega_{0}t}.
\text{Se }\alpha>\omega_{0}:\quad v_{h}(t)=C_{1}e^{r_{1}t}+C_{2}e^{r_{2}t},\quad r_{1,2}=-\alpha\pm\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}},
\text{com }h(t)=\frac{\omega_{0}^{2}}{2\sqrt{\alpha^{2}-\omega_{0}^{2}}}\big(e^{r_{1}t}-e^{r_{2}t}\big).

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