Um circuito R C L com R=5 ohms, C=1100 farad, L=18 henry, não tem voltagem aplicada. Determine a corrente no circuito se a carga inicial no capacitor é 110 coulomb e a corrente inicial é zero.

Passo 1

A questão é sobre um circuito RCL sem fonte externa, com R=5 Ω, C=1/100 F e L=1/8 H; dados iniciais: carga no capacitor q(0)=1/10 C e corrente I(0)=0. Vamos precisar montar a equação diferencial de segunda ordem para a carga q(t), que vem de Kirchhoff e da relação I=q′(t), e depois achar I(t).

Passo 2

A equação diferencial de base para o circuito é
L,q''(t)+R,q'(t)+1C,q(t)=0
onde q(t) é a carga do capacitor e I(t)=q’(t).

Passo 3

Substituindo L=1/8, R=5 e C=1/100 na equação e multiplicando tudo por 8 para simplificar, obtemos
q''(t)+40,q'(t)+800,q(t)=0

Passo 4

Montamos a equação característica
r^2+40r+800=0
Calculamos o discriminante: Δ=40²−4·1·800=1600−3200=−1600. Logo as raízes são
r=-20pm20,i

Passo 5

Como as raízes são complexas, a solução geral é
q(t)=e^-20tl(Acos(20t)+Bsin(20t)r)
Usamos q(0)=A=1/10 e I(0)=q’(0)=0. Derivando e impondo q’(0)=−20A+20B=0, achamos B=A=1/10.

Passo 6

Então
q(t)=110e^-20tl(cos(20t)+sin(20t)r)
Derivando para obter I(t)=q’(t) e simplificando, chegamos a
I(t)=-4e^-20tsin(20t)

Resposta

I(t) = -4 e^{-20t} \sin(20t) A

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