Um circuito
com
ohms,
farad,
henry, não tem voltagem aplicada. Determine a corrente no circuito se a carga inicial no capacitor é
coulomb e a corrente inicial é zero.
Passo 1
A questão é sobre um circuito RCL sem fonte externa, com R=5 Ω, C=1/100 F e L=1/8 H; dados iniciais: carga no capacitor q(0)=1/10 C e corrente I(0)=0. Vamos precisar montar a equação diferencial de segunda ordem para a carga q(t), que vem de Kirchhoff e da relação I=q′(t), e depois achar I(t).
Passo 2
A equação diferencial de base para o circuito é
onde q(t) é a carga do capacitor e I(t)=q’(t).
Passo 3
Substituindo L=1/8, R=5 e C=1/100 na equação e multiplicando tudo por 8 para simplificar, obtemos
Passo 4
Montamos a equação característica
Calculamos o discriminante: Δ=40²−4·1·800=1600−3200=−1600. Logo as raízes são
Passo 5
Como as raízes são complexas, a solução geral é
Usamos q(0)=A=1/10 e I(0)=q’(0)=0. Derivando e impondo q’(0)=−20A+20B=0, achamos B=A=1/10.
Passo 6
Então
Derivando para obter I(t)=q’(t) e simplificando, chegamos a
Resposta
I(t) = -4 e^{-20t} \sin(20t) A