Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são convergentes.
integral0^pi cos pi t d t

Passo 1

O enunciado pede para analisar a integral definida de 0 a π de cos(πt). O conteúdo envolvido é integrais definidas e convergência de integrais em intervalos finitos. Para resolver, vamos precisar encontrar a primitiva de cos(πt) e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Para achar a primitiva de cos(πt), lembramos que, via regra da cadeia, se u=πt então du=π
dt. Assim,
F(t)=integral cos(pi t),dt=1pisin(pi t)+C

Passo 3

Agora aplicamos os limites de integração 0 e π usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
integral0^pi cos(pi t),dt = F(pi)-F(0) = 1pisin(pi^2) - 1pisin(0)

Passo 4

Como sin(0)=0, sobra
integral0^pi cos(pi t),dt = sin(pi^2)pi

Resposta

A integral é convergente e vale sin(pi^2)pi.

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