Em um circuito LC oscilante, a carga máxima do capacitor é de 4,0 mu C. Determine a corrente elétrica máxima sabendo que L=1,0.10^-3 H e C=4,0 mu F. Determine também a energia total.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um circuito oscilante LC, onde temos um capacitor com carga máxima de $ 4,0 , \mu \mathrm{C} $, uma indutância $ L = 1,0 \times 10^{-3} , \mathrm{H} $ e capacitância $ C = 4,0 , \mu \mathrm{F} $. Precisamos encontrar a corrente elétrica máxima e a energia total do circuito. Para isso, vamos usar os conceitos de energia em capacitores e indutores em circuitos oscilantes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um circuito LC, a energia oscila entre o capacitor e o indutor. Quando a carga no capacitor é máxima, toda a energia está armazenada no capacitor. A fórmula para a energia armazenada em um capacitor é:
UC = 12 C Qmáx^2 á
Onde:
  • $ U_C $ é a energia no capacitor,
  • $ C $ é a capacitância,
  • $ Q_{máx} $ é a carga máxima.

Passo 3

Da mesma forma, quando a corrente no indutor é máxima, toda a energia está armazenada no indutor. A fórmula para a energia armazenada em um indutor é:
UL = 12 L Imáx^2 á
Onde:
  • $ U_L $ é a energia no indutor,
  • $ L $ é a indutância,
  • $ I_{máx} $ é a corrente máxima.

Passo 4

Como estamos lidando com um circuito oscilante sem perdas, a energia total é constante e igual tanto no capacitor quanto no indutor. Então, podemos igualar as duas expressões:
12 C Qmáx^2 = 12 L Imáx^2 áá

Passo 5

Podemos simplificar a equação removendo o $ \frac{1}{2} $ de ambos os lados:
12 áá
Agora, vamos isolar $ I_{máx} $ para encontrar a corrente máxima:
C Qmáx^2 = L Imáx^2 áá

Passo 6

Vamos substituir os valores fornecidos na equação:
Qmáx = 4,0 , mu C = 4,0 times 10^-6 , C á
C = 4,0 , mu F = 4,0 times 10^-6 , F
L = 1,0 times 10^-3 , H
Agora, substituindo na fórmula:
Imáx = 4,0 times 10^-6 , C times raiz4,0 times 10^-6 , F1,0 times 10^-3 , H á

Passo 7

Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
4,0 times 10^-61,0 times 10^-3 = 4,0 times 10^-3
Então:
raiz4,0 times 10^-3 = raiz4,0 times raiz10^-3 = 2,0 times 10^-1,5 = 2,0 times 10^-1 times raiz10^-1 approx 2,0 times 0,0316 = 0,0632
Mas simplificando:
raiz4,0 times 10^-3 = raiz4,0 times raiz10^-3 = 2,0 times 0,03162 approx 0,063245

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo $ Q_{máx} $:
Qmáx á
Arredondando:
Imáx = 4,0 times 10^-6 , C times 0,063245 approx 2,5298 times 10^-7 , A á

Passo 9

Agora, para encontrar a energia total, podemos usar a fórmula do capacitor:
U = 12 C Qmáx^2 á
Substituindo os valores:
U = 12 times 4,0 times 10^-6 , F times (4,0 times 10^-6 , C)^2
U = 2,0 times 10^-6 times 16,0 times 10^-12 = 32,0 times 10^-18 , J
U = 3,2 times 10^-17 , J

Resposta

A corrente elétrica máxima é aproximadamente $ 2,53 \times 10^{-7} , \mathrm{A} $ e a energia total do circuito é $ 3,2 \times 10^{-17} , \mathrm{J} $.

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