Em um circuito LC oscilante, a carga máxima do capacitor é de
. Determine a corrente elétrica máxima sabendo que
. Determine também a energia total.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um circuito oscilante LC, onde temos um capacitor com carga máxima de $ 4,0 , \mu \mathrm{C} $, uma indutância $ L = 1,0 \times 10^{-3} , \mathrm{H} $ e capacitância $ C = 4,0 , \mu \mathrm{F} $. Precisamos encontrar a corrente elétrica máxima e a energia total do circuito. Para isso, vamos usar os conceitos de energia em capacitores e indutores em circuitos oscilantes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um circuito LC, a energia oscila entre o capacitor e o indutor. Quando a carga no capacitor é máxima, toda a energia está armazenada no capacitor. A fórmula para a energia armazenada em um capacitor é:
Onde:
- $ U_C $ é a energia no capacitor,
- $ C $ é a capacitância,
- $ Q_{máx} $ é a carga máxima.
Passo 3
Da mesma forma, quando a corrente no indutor é máxima, toda a energia está armazenada no indutor. A fórmula para a energia armazenada em um indutor é:
Onde:
- $ U_L $ é a energia no indutor,
- $ L $ é a indutância,
- $ I_{máx} $ é a corrente máxima.
Passo 4
Como estamos lidando com um circuito oscilante sem perdas, a energia total é constante e igual tanto no capacitor quanto no indutor. Então, podemos igualar as duas expressões:
Passo 5
Podemos simplificar a equação removendo o $ \frac{1}{2} $ de ambos os lados:
Agora, vamos isolar $ I_{máx} $ para encontrar a corrente máxima:
Passo 6
Vamos substituir os valores fornecidos na equação:
Agora, substituindo na fórmula:
Passo 7
Vamos calcular o que está dentro da raiz primeiro:
Então:
Mas simplificando:
Passo 8
Agora, multiplicamos pelo $ Q_{máx} $:
Arredondando:
Passo 9
Agora, para encontrar a energia total, podemos usar a fórmula do capacitor:
Substituindo os valores:
Resposta
A corrente elétrica máxima é aproximadamente $ 2,53 \times 10^{-7} , \mathrm{A} $ e a energia total do circuito é $ 3,2 \times 10^{-17} , \mathrm{J} $.