Sabendo que o momento de inércia com relação ao eixo
de um disco com densidade de massa homogênea, massa total
e raio
, é
(em relação ao centro do disco) determine
e
. Dica: Teorema dos eixos perpendiculares.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre o momento de inércia de um disco com densidade de massa uniforme, massa total $ m $ e raio $ R $. A gente já sabe que o momento de inércia em relação ao eixo $ z $ (perpendicular ao disco e passando pelo centro) é $ I_z = \frac{1}{2} m R^{2} $. Agora, precisamos descobrir os momentos de inércia $ I_x $ e $ I_y $ em relação aos eixos $ x $ e $ y $ no plano do disco. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Perpendiculares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema dos Eixos Perpendiculares. Esse teorema diz que, para um objeto plano, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano ($ I_z
I_x $ e $ I_y $). Matematicamente, fica assim:
Passo 3
Como o disco é simétrico em relação aos eixos $ x $ e $ y $, os momentos de inércia $ I_x $ e $ I_y $ são iguais. Então, podemos dizer que:
Passo 4
Substituindo $ I_x = I_y $ na equação do teorema, temos:
Passo 5
Agora, sabemos que $ I_z = \frac{1}{2} m R^{2} $. Vamos substituir esse valor na equação:
Passo 6
Para encontrar $ I_x $, vamos resolver a equação:
Passo 7
Como $ I_x = I_y $, concluímos que:
Resposta
Os momentos de inércia são $ I_x = I_y = \frac{1}{4} m R^{2} $.