Sabendo que o momento de inércia com relação ao eixo z de um disco com densidade de massa homogênea, massa total m e raio R, é Iz=12 m R^2 (em relação ao centro do disco) determine Ix e Iy. Dica: Teorema dos eixos perpendiculares.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre o momento de inércia de um disco com densidade de massa uniforme, massa total $ m $ e raio $ R $. A gente já sabe que o momento de inércia em relação ao eixo $ z $ (perpendicular ao disco e passando pelo centro) é $ I_z = \frac{1}{2} m R^{2} $. Agora, precisamos descobrir os momentos de inércia $ I_x $ e $ I_y $ em relação aos eixos $ x $ e $ y $ no plano do disco. Para isso, vamos usar o Teorema dos Eixos Perpendiculares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema dos Eixos Perpendiculares. Esse teorema diz que, para um objeto plano, o momento de inércia em relação a um eixo perpendicular ao plano ($ I_z Iz éàéçãã I_x $ e $ I_y $). Matematicamente, fica assim:
Ix

Passo 3

Como o disco é simétrico em relação aos eixos $ x $ e $ y $, os momentos de inércia $ I_x $ e $ I_y $ são iguais. Então, podemos dizer que:
x

Passo 4

Substituindo $ I_x = I_y $ na equação do teorema, temos:
Ix = Iy

Passo 5

Agora, sabemos que $ I_z = \frac{1}{2} m R^{2} $. Vamos substituir esse valor na equação:
Iz = 12 m R^2

Passo 6

Para encontrar $ I_x $, vamos resolver a equação:
Ix

Passo 7

Como $ I_x = I_y $, concluímos que:
Ix = Iy

Resposta

Os momentos de inércia são $ I_x = I_y = \frac{1}{4} m R^{2} $.

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