Uma régua de um metro é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiadas no solo e depois liberada. Determine a velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, supondo que a outra extremidade de apoio não escorrega. Considere a régua como uma barra fina. (R. 5,42 m/s)

Passo 1

Beleza, temos uma régua de comprimento apoiada verticalmente num ponto fixo no chão (como se fosse uma dobradiça) e, ao soltarmos, ela gira até ficar horizontal. A questão é: qual a velocidade da ponta livre logo antes de tocar o chão?
Conteúdo: movimento de rotação de um corpo rígido e conservação de energia. Vamos precisar de:
  1. A energia potencial gravitacional inicial da régua (centro de massa a certa altura).
  2. A energia cinética de rotação quando ela está a ponto de bater (usando momento de inércia).
  3. Igualar as duas (conservação de energia) e achar .

Passo 2

Primeiro, escreve a energia potencial inicial: como a régua é uniforme, seu centro de massa fica no meio, a uma altura de Epot,i = m g ,L2 acima do chão.
Energia potencial inicial
onde
  • é a massa da régua,
  • a aceleração da gravidade ( ).

Passo 3

Quando a régua chega na horizontal, toda essa energia potencial vira energia cinética de rotação em torno do ponto de apoio. A fórmula da energia cinética de rotação é
Erot = tfrac12,I,omega^2
em que
  • é o momento de inércia da régua em relação ao ponto fixo,
  • é a velocidade angular nesse instante.

Passo 4

Momento de inércia de uma barra fina girando em torno de uma extremidade é
I = tfrac13,m,L^2
Substituindo em Erot = tfrac12;l(tfrac13mL^2r),omega^2 = tfrac16,m,L^2,omega^2 :

Passo 5

Pela conservação de energia, m g ,L2 ;=; 16,m,L^2,omega^2 :
g,L2 = 16,L^2,omega^2 Longrightarrow omega^2 = 6,g,(L/2)L^2 = 3,gL
Aí dá para simplificar dos dois lados e resolver para :

Passo 6

Mas a velocidade linear da ponta livre é v = L,raiz3,gL = raiz3,g,L . Logo,

Resposta

Substituindo v = raiz3 times 9,8 times 1,0 approx 5,42;m/s e ,

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