Uma régua de um metro é mantida verticalmente com uma das extremidades apoiadas no solo e depois liberada. Determine a velocidade da outra extremidade pouco antes de tocar o solo, supondo que a outra extremidade de apoio não escorrega. Considere a régua como uma barra fina. (R. 5,42 m/s)
Passo 1
Beleza, temos uma régua de comprimento
apoiada verticalmente num ponto fixo no chão (como se fosse uma dobradiça) e, ao soltarmos, ela gira até ficar horizontal. A questão é: qual a velocidade
da ponta livre logo antes de tocar o chão?
Conteúdo: movimento de rotação de um corpo rígido e conservação de energia. Vamos precisar de:
Conteúdo: movimento de rotação de um corpo rígido e conservação de energia. Vamos precisar de:
- A energia potencial gravitacional inicial da régua (centro de massa a certa altura).
- A energia cinética de rotação quando ela está a ponto de bater (usando momento de inércia).
- Igualar as duas (conservação de energia) e achar
.
Passo 2
Primeiro, escreve a energia potencial inicial: como a régua é uniforme, seu centro de massa fica no meio, a uma altura de
acima do chão.
Energia potencial inicial
Energia potencial inicial
onde
-
é a massa da régua, -
a aceleração da gravidade ( ).
Passo 3
Quando a régua chega na horizontal, toda essa energia potencial vira energia cinética de rotação em torno do ponto de apoio. A fórmula da energia cinética de rotação é
em que
-
é o momento de inércia da régua em relação ao ponto fixo, -
é a velocidade angular nesse instante.
Passo 4
Momento de inércia de uma barra fina girando em torno de uma extremidade é
Substituindo em
:
Passo 5
Pela conservação de energia,
:
Aí dá para simplificar
dos dois lados e resolver para
:
Passo 6
Mas a velocidade linear da ponta livre é
. Logo,
Resposta
Substituindo
e
,