Um resistor \mathrm{R}=10 \mathrm{ohms} e um indutor \mathrm{L}=0,005 \mathrm{H} estão em paralelo. A corrente no ramo indutivo é i_{L}=5 \operatorname{sen}\left(2000 t-45^{\circ}\right) Amperes. Achar a corrente total e o ângulo entre i_{T}(t) e a tensão aplicada.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar explicitamente o que está dado e o que se pede):
  • Resistência: R=10\\ \Omega.
  • Indutância: L=0{,}005\\ \mathrm{H}.
  • Corrente no ramo indutivo (no domínio do tempo): i_{L}(t)=5\sin\bigl(2000\,t-45^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}.
  • Perguntas:
    1. Achar a corrente total i_{T}(t) (soma das correntes dos dois ramos: resistor e indutor).
    2. Achar o ângulo entre i_{T}(t) e a tensão aplicada (ou seja, a diferença de fase entre a corrente total e a tensão).

Passo 2

Explicando o método que vamos usar (pela prática: phasores/aná-lise em regime sinusoideal):
  • Quando temos sinais senoidais de mesma frequência, é muito conveniente trabalhar com phasores (representação complexa de amplitude e fase).
  • Convenção usada: se x(t)=X_m\sin(\omega t+\varphi) então o phasor correspondente é \widetilde{X}=X_m\angle\varphi (estou usando amplitude de pico, não RMS — é consistente desde que façamos todas as operações com amplitudes).
  • Lei do indutor no domínio fasorial: a tensão sobre o indutor é \widetilde{V}=j\omega L\,\widetilde{I_L}. Aqui j é a unidade imaginária e \omega é a pulsação.
  • Corrente no resistor é obtida por \widetilde{I_R}=\widetilde{V}/R.
  • Corrente total em phasores é \widetilde{I_T}=\widetilde{I_R}+\widetilde{I_L}.
  • Depois convertemos \widetilde{I_T} de volta para o domínio do tempo para obter i_T(t) e lemos a diferença de fase entre i_T e a tensão (que também podemos obter em fase a partir de \widetilde{V}).

Passo 3

Calcular parâmetros numéricos iniciais e o phasor da corrente indutiva:
  • A pulsação é \omega=2000\\ \mathrm{rad/s} (vem do argumento 2000\,t de i_L).
  • O phasor da corrente indutiva (amplitude e fase) é \widetilde{I_L}=5\angle(-45^\circ).
Calcular a impedância do indutor em forma multiplicativa j\omega L:
j\omega L = j\cdot 2000\cdot 0{,}005 = j\cdot 10.
Agora a tensão (phasor) comum aos dois ramos, usando \widetilde{V}=j\omega L\,\widetilde{I_L}:
\widetilde{V} = (j10)\cdot\bigl(5\angle(-45^\circ)\bigr).
Multiplicando magnitude e somando ângulos (lembrando que j=1\angle 90^\circ):
\widetilde{V} = 10\cdot 5 \angle(90^\circ-45^\circ)=50\angle 45^\circ.
Portanto a tensão (amplitude de pico) é 50\angle 45^\circ, isto é, no domínio do tempo
v(t)=50\sin\bigl(2000\,t+45^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Determinar a corrente no resistor em phasor e somar com \widetilde{I_L}:
  • Corrente no resistor (phasor): \widetilde{I_R}=\frac{\widetilde{V}}{R}=\frac{50\angle 45^\circ}{10}=5\angle 45^\circ.
  • Já tínhamos \widetilde{I_L}=5\angle(-45^\circ).
Agora somamos os dois phasores:
  • Converter para forma retangular usando \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}: \widetilde{I_R}=5\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}+j\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)=\frac{5\sqrt{2}}{2}+j\frac{5\sqrt{2}}{2},
\widetilde{I_L}=5\Bigl(\frac{\sqrt{2}}{2}-j\frac{\sqrt{2}}{2}\Bigr)=\frac{5\sqrt{2}}{2}-j\frac{5\sqrt{2}}{2}.
  • Somando: \widetilde{I_T}=\widetilde{I_R}+\widetilde{I_L}=\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}+\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)+j\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)=5\sqrt{2}+j0.
Logo
\widetilde{I_T}=5\sqrt{2}\angle 0^\circ.

Passo 5

Voltar ao domínio do tempo e concluir sobre o ângulo entre a corrente total e a tensão:
  • Em forma temporal (amplitude de pico): i_T(t)=5\sqrt{2}\sin\bigl(2000\,t+0^\circ\bigr)=5\sqrt{2}\sin(2000\,t)\\ \mathrm{A}.
  • A tensão foi encontrada (no passo 3) como v(t)=50\sin\bigl(2000\,t+45^\circ\bigr).
  • A diferença de fase (ângulo entre i_T e v) é 45^\circ. Observando os sinais: \varphi_v=+45^\circ e \varphi_{i_T}=0^\circ, portanto a corrente total atrasa a tensão em 45^\circ (ou a tensão adianta a corrente em 45^\circ).
Segue um comentário amigo: mesmo parecendo muita conta, a simetria aqui fez tudo simplificar — as correntes dos ramos tinham mesmas magnitudes e fases simétricas, por isso a componente imaginária cancelou e ficou corrente total puramente real (em fase com referência zero).

Resposta

i_T(t)=5\sqrt{2}\sin(2000\,t)\\ \mathrm{A}
Ângulo entre i_T(t) e a tensão aplicada: 45^\circ (a corrente total atrasa a tensão em 45^\circ).

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