Um circuito paralelo de dois ramos é constituído de apenas um resistor de 50 \Omega em um dos ramos e um elemento simples desconhecido no outro ramo. Conhecesse a tensão aplicada e a corrente total:
v(t)=100 \cos \left(1500 t+45^{\circ}\right) Volts
i(t)=12 \operatorname{sen}\left(1500 t+135^{\circ}\right) Amperes
Determine o elemento desconhecido.
R: \quad R=10 \Omega

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar o elemento desconhecido do segundo ramo (além do resistor de 50\\ \Omega) em um circuito paralelo de dois ramos.
  • Tensão aplicada (ramo comum): v(t)=100\cos\!\left(1500t+45^\circ\right) volts.
  • Corrente total fornecida pela fonte: i(t)=12\operatorname{sen}\!\left(1500t+135^\circ\right) amperes.
  • Um dos ramos contém um resistor conhecido de 50\\ \Omega.
  • O outro ramo contém um elemento simples desconhecido (provavelmente um resistor, indutor ou capacitor), que devemos determinar.
O que o problema pede:
  • Determinar que elemento é o elemento desconhecido e seu valor (impedância).

Passo 2

Converter as formas temporais em fasores (explicar o conceito e como fazer).
  • Conceito rápido de fasor: para uma senoide x(t)=X_m\cos(\omega t+\theta) associamos o fasor complexo \underline{X}=X_m\angle\theta. O fasor representa amplitude e fase, e a divisão/multiplicação entre fasores corresponde a relações de impedância no domínio complexo.
  • Primeiro, alinhar i(t) ao formato cosseno, porque a tensão já está em cosseno. Usar a identidade
    \operatorname{sen}(\alpha)=\cos(\alpha-90^\circ).
    Assim,
    i(t)=12\operatorname{sen}\!\left(1500t+135^\circ\right)=12\cos\!\left(1500t+135^\circ-90^\circ\right)=12\cos\!\left(1500t+45^\circ\right).
  • Agora escrever os fasores correspondentes (amplitude e fase da forma \cos):
    \underline{V}=100\angle 45^\circ, \qquad \underline{I}=12\angle 45^\circ.
    Aqui \underline{V} é o fasor da tensão aplicada e \underline{I} é o fasor da corrente total.

Passo 3

Calcular a impedância equivalente vista pela fonte usando a relação fasorial básica:
\underline{Z}_{\text{eq}}=\frac{\underline{V}}{\underline{I}}.
Substituindo:
\underline{Z}_{\text{eq}}=\frac{100\angle 45^\circ}{12\angle 45^\circ}=\frac{100}{12}\angle(45^\circ-45^\circ)=\frac{25}{3}\angle 0^\circ.
Portanto a impedância equivalente é real e igual a
\underline{Z}_{\text{eq}}=\frac{25}{3}\\ \Omega\approx 8{,}333\\ \Omega.

Passo 4

Relacionar a impedância equivalente com as impedâncias dos ramos em paralelo e montar a equação para a impedância desconhecida \underline{Z}_x.
Para dois elementos em paralelo vale:
\frac{1}{\underline{Z}_{\text{eq}}}=\frac{1}{\underline{Z}_1}+\frac{1}{\underline{Z}_x},
onde \underline{Z}_1 é a impedância do resistor conhecido. Aqui \underline{Z}_1=50\\ \Omega (real). Isolando 1/\underline{Z}_x:
\frac{1}{\underline{Z}_x}=\frac{1}{\underline{Z}_{\text{eq}}}-\frac{1}{\underline{Z}_1}.
Substituir valores (usar frações exatas):
\frac{1}{\underline{Z}_x}=\frac{1}{25/3}-\frac{1}{50}=\frac{3}{25}-\frac{1}{50}.
Calcular numericamente com frações:
\frac{3}{25}=\frac{6}{50},\qquad \frac{6}{50}-\frac{1}{50}=\frac{5}{50}=\frac{1}{10}.
Logo
\frac{1}{\underline{Z}_x}=\frac{1}{10}\quad\Rightarrow\quad \underline{Z}_x=10\\ \Omega.

Passo 5

Interpretar o resultado e verificar a consistência (ensinando a ideia de verificação).
  • O resultado \underline{Z}_x=10\\ \Omega é um número real e positivo, ou seja, não há componente imaginária. Isso significa que o elemento desconhecido é um resistor puro de 10\\ \Omega.
  • Verificação rápida pelo somatório de correntes nos ramos (no domínio fasorial):
    \underline{I}_1=\frac{\underline{V}}{50}=\frac{100\angle 45^\circ}{50}=2\angle 45^\circ, \qquad \underline{I}_x=\frac{\underline{V}}{10}=\frac{100\angle 45^\circ}{10}=10\angle 45^\circ.
    Soma:
    \underline{I}_1+\underline{I}_x=2\angle45^\circ+10\angle45^\circ=12\angle45^\circ,
    que é exatamente \underline{I} calculado antes. Assim a solução é consistente.

Resposta

Um resistor de 10\\ \Omega.

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